Нет, это несклоняемое существительное.
Названия городов склоняются в сочетании со словом город: в городе Радужном.
Запятая не нужна ни до, ни после союза и, т. к. этот союз соединяет однородные деепричастные обороты.
Если ошибки связаны с выбором неправильного падежа (и, как следствие, неправильной буквы), то это грамматические ошибки. В иных случаях - орфографические.
Верно: тЕплятся надежды.
Верно: Иван — молодой, подающий большие надежды ученый.
Верно слитное написание.
Каждое из частей этого сложного предложения представляет собой так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). В таких предложениях при наличии паузы ставится тире, при отсутствии паузы знак не нужен. Часть Вы в ресурсе трудно прочитать с паузой после вы, а потому тире здесь неуместно.
Верно: заЕда.
