Верно: Сделать это было совсем не просто: мне мешали четыре здоровенных амбала, пытавшихся вырвать дорогие моему сердцу листки.
Необходимость постановки тире зависит от того, как прочитывается сочетание 13 июля. Если подразумевается форма именительного падежа, то оно играет роль подлежащего. Соответственно, сочетание день рождения будет выполнять функцию сказуемого, а между подлежащим и сказуемым-существительным ставится тире: День рождения Андрея — тринадцатое июля. Если подразумевается форма родительного падежа, то сочетание играет роль обстоятельства времени, что не предполагает постановки знаков препинания: День рождения Андрея тринадцатого июля. При этом может быть использовано интонационное тире для указания места распадения простого предложения на словесные группы: День рождения Андрея — тринадцатого июля.
Предлог — сказуемое, производный — определение. Устойчивые сочетания равны одному слову, воспроизводятся в речи как цельные единицы и при синтаксическом разборе выделяются как один член предложения. К таким сочетаниям относятся, например, фразеологизмы — воспроизводимые сочетания слов, у которых лексическая самостоятельность одного или обоих компонентов ослаблена или утрачена. В нашем случае слово производный просто определяет тип предлога.
При отрицании возможен как родительный, так и винительный падеж. См. подробнее в «Письмовнике».
Лучше: вышло около 600 книг.
Корректно без знаков препинания внутри предложения: Или это просто иллюзия и я обманывал сам себя?
Новое предложение в этом случае всё же начинается сразу после закрытой кавычки. Нельзя не отметить, однако, что правила недостаточно четко регламентируют данную ситуацию, о чём подробнее см. в ответе на вопрос № 325853.
Добавим, что и оформление первого предложения, с двумя глаголами речи, каждый из которых вводит свой фрагмент высказывания и расположен перед этим фрагментом, представляет собой трудность: полностью аналогичных примеров в имеющихся справочниках не обнаруживается. Можно рекомендовать такой вариант: Он произносил: «Ну-с, молодые люди, чего вам угодно? — И шутливо добавлял: — Пару чая или по штофу водки?» Поняв, чего от него хотят «молодые люди», он быстро удовлетворял наше желание...
Правильно: никем не видимый.
Название Ростов Великий было придумано в середине XIX века (в древности город называли просто Ростов) и получило распространение благодаря трудам историка-краеведа Андрея Александровича Титова. В работах Титова поначалу использовалось написание Ростов-Великий, однако впоследствии прочно закрепилось написание без дефиса. Можно предполагать, что на это повлияло стремление уподобить это название наименованиям Великий Новгород, Великий Устюг с одновременной синтаксической стилизацией под древнерусский язык, где постпозитивные определения употреблялись гораздо чаще, чем сейчас. Современное написание следует сложившейся традиции. Его правомерно считать исключением из правил дефисного написания топонимов. (Ср. ситуацию с наименованием Струги-Красные: орфографическая норма требует написания через дефис, но в современной практике письма абсолютно преобладает раздельное написание; оно же зафиксировано как официальное.)
Грамматическая основа — они договорились, простое глагольное сказуемое. Инфинитив встретиться выполняет роль дополнения (о чем?).
