От существительных женского рода с суффиксом -ость глаголы не образуются (в историческом аспекте исключением являются глаголы раскрепостить, закрепостить). Корень нег- // неж- обнаруживаем в глаголе нежить, который в текстах XVIII–XIX вв. мог употребляться в значении ‘ласкать’, ср. в романе «Обломов»: «Вот постой, постой!» — говорил он, нежа и лаская ребенка.
Нет, правильно написание со строчной: день рождения.
Правильно: 1 марта — День кошек в России.
Запятая не ставится, т. к. наречие утром относится к обеим частям предложения. Вряд ли возможно трактовать слово утром как относящееся только к первой части.
Оба сочетания корректны.
Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
Это сочетание пишется строчными: единый день голосования.
Тире нужно.
