Корректен вариант с обособлением деепричастия: Учимся говорить, играя!
Оценить корректность этого выражения вне более широкого контекста невозможно.
Вопрос непонятен: существительное токарь мужского рода и глагол подумал мужского рода. В чем противоречие?
Следует сказать: Здравствуйте, садитесь, пожалуйста. О глаголах садиться и присаживаться можно прочитать в статье «Последний или крайний? Садитесь или присаживайтесь?».
Верно: проиндексировать.
Так говорить, разумеется, можно, но следует иметь в виду, что уточнение лично подчеркивает особую роль говорящего.
Верно: с наки́дом.
Смысл этого предложения не ясен, поэтому оценить его как правильное невозможно.
Если имеется в виду что-то типа сооружение памяти... или мероприятие памяти..., то верен первый вариант: памяти погибших солдат. В сочетании дань памяти употребляется дательный падеж: дань памяти погибшим солдатам.
Здесь нет каких-то особых окончаний, просто диалектные особенности произношения гласных звуков.
