Запятая не нужна. Обратите внимание: кавычки одного рисунка рядом не повторяются. Следует использовать кавычки разного рисунка или иные способы выделения:
«Детский клуб "Солнышко"» — прочитал я на одной из вывесок.
Детский клуб «Солнышко» — прочитал я на одной из вывесок.
Возможны (в зависимости от смысла) разные пунктуационные варианты оформления этого предложения: Идут на город с востока — и с юга идут!; Идут на город с востока и с юга идут!; Идут на город, с востока и с юга идут!; Идут на город — с востока и с юга идут!
См. ответ на вопрос № 306462.
Корректно слитное написание: неиспользованные дни/часы отдыха.
Сказуемые врач и не разобрал относятся к одному подлежащему Леня, так что по структурному принципу русской пунктуации запятая между ними ставиться не должна. Однако уместно поставить тире для подчеркивания значения противопоставления, выраженного частицей все равно: Леня сам врач — и все равно ничего не разобрал.
Запятая не нужна: союз или связывает однородные инфинитивы, зависящие от предикатива нельзя.
Да, нужна еще одна запятая — перед деепричастием: Она удивилась, возмутилась, не поняв: за что?
Поскольку предложение приведено не полностью, дать рекомендацию по пунктуационному оформлению невозможно.
Лучше так: на должность экономиста.
Тире в этом предложении необходимо поставить, так как подлежащее в нем выражено инфинитивом.
