1. Верно: обеспечение питанием.
2. Приведите предложение полностью.
Такие конструкции корректны, обычно они употребляются в разговорной, художественной или публицистической речи.
Предложения типа *Вдали дороги стоит дерево нарушают нормы современного русского языка. Подобные употребления наречия вдали, сближающие его с предлогом, встречались в XIX в. («...за что страдальцем кончил он / Свой век блестящий и мятежный / В Молдавии, в глуши степей, / Вдали Италии своей»), но они не прижились и современной нормой отвергаются. Предлога вдали в современном русском языке нет. Наречие вдали употребляется без зависимых слов, и тогда это именно наречие: Вдали показался дымок паровоза. Существительное даль может иметь зависимые слова, и тогда оно точно существительное и пишется с предлогом раздельно: В дали бескрайних волн показался парус. Всё решает наличие или отсутствие зависимых слов.
В ваших примерах лучше выбрать форму множественного числа.
Предпочтительно в кавычках: мое второе «я».
Безумно – краткое прилагательное.
Мужская фамилия склоняется: Цою. Женская не склоняется.
Корректно: Он не принял бой.
Мужская фамилия Гергерт склоняется. Правильно: Гергерта Никиты.
