В названии станции метро «Кузнецкий Мост» слово Мост тоже пишется с прописной. Не очень понятно, о каком условном районе идет речь (район улицы Кузнецкий Мост?), но в любом случае действует правило: нарицательные существительные в составных географических названиях пишутся с прописной буквы, если они употреблены не в своем собственном значении. Иными словами, если слово мост употребляется в названии улицы, района, станции метро и т. д. (но не собственно моста), оно пишется с прописной.

Сочетания с разными предлогами могут употребляться в разных значениях. Поскольку Китай-город — это название не только исторического района Москвы, но и станции Московского метрополитена (а с названиями станций употребляется предлог на), сочетание на Китай-городе вполне объяснимо. Значение здесь: на станции «Китай-город», на территории, прилегающей к этой станции метро. Ср., например: давай где-нибудь на Китай-городе встретимся и посидим (= где-то в районе станции метро и рядом) и в Китай-городе сохранилось несколько монастырей (= внутри исторического района; предлог в связан с представлением о замкнутом пространстве).

Корректна строчная буква, а вот вопрос об использовании кавычек спорен. 

Нужно иметь в виду, что одна из главных функций кавычек — выделительная, то есть, заключая то или иное слово или сочетание слов в кавычки, пишущий стремится обратить на них внимание. Поэтому, в частности, часто выделяются кавычками слова, употребленные в условном, ироническом, образном, необычном и т. п. значении. Однако по мере того как подобные выражения становятся обиходными (широко употребительными) в кавычки они заключаются всё реже. Например, стали писать без кавычек: часы пик; голосовать за и против; работать на отлично; живая газета и др.

На наш взгляд, условные наименования орудий пыток типа "стул ведьмы", "железная дева", "испанский сапог", "медный бык" следует заключать в кавычки, чтобы не возникало путаницы с такими же словосочетаниями в их прямом значении. 

Слова двойной и двоякий имеют различающиеся значения, хотя иногда могут быть взаимозаменяемы. Из словарных толкований следует, что двойной характеризует нечто как состоящее из двух частей или увеличенное в два раза. Наглядны и понятны, например, двойной кофе или двойная порция. Двоякий — это такой и эдакий, условно говоря, или, как отмечают словари, имеющий два проявления, два воплощения, два вида. Прилагательное часто используется при указании на неоднозначность: двоякое впечатление, двоякое толкование. Кавычки, как представляется, не обязательны, впрочем, если важно подчеркнуть точность цитируемого, то поставьте их в нужном месте.

Во всех этих случаях можно поставить запятые - обособить уточняющий оборот. Но при отсутствии уточнительной интонации (паузы) запятые не ставятся (это возможно в последнем примере со словом "новый").

Мы не выполняем домашние задания. 

Корректно с отбивкой отдельных пунктов перечня.

В последнее время появляется всё больше мест, где можно сдать батарейки на утилизацию:
— пункты приёма вторсырья (найдите ближайший, используя карту RecycleMap);
— магазины «ВкусВилл», Media Markt, «М.Видео», «Эльдорадо»;
— гипермаркеты «Икеа», «Лента», «Оби», «Метро», «Глобус»;
— волонтёрские экопункты, например: «Зелёный Нижний» (Нижний Новгород), «Разделяйка» (Челябинск).

А у Лермонтова и Достоевского (в источниках) не хватает знаков препинания?