Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Если это предложение целиком, то запятая нужна: Это я, и это ты.
Запятые не требуются: Я был сосредоточен на разговоре и придуманных мною утонченных прозвищах!
Деепричастие не мешкая не выделяется запятыми: И я ей не мешкая ее отдал.
Деепричастий иская и ловля не существует, правильно: ища, ловя. Но, насколько нам известно, в этом детском стихотворении употребляются глаголы (Я поохотился за лето: грибы искал, мышей ловил), иначе не будет рифмы (Устал я, выбился из сил). Возможно, кто-то что-то неправильно услышал или записал?
Это сложное предложение, запятая между двумя частями нужна: Я влюбился, и это было взаимно.
Нужно второе тире: Я надел эту никчёмную вещь — прогнивший ботинок — и вышел на улицу.
При уточнении - нужна: Недавно я был у себя на родине, (а именно) в Перми.
Вообще говоря, знак не требуется, но его отсутствие действительно порождает двусмысленность. Можно рекомендовать поставить тире, то есть сделать сочетание двумя руками присоединительной конструкцией: Я за — двумя руками.
