Однородность или неоднородность определений зависит от того, характеризуют ли они предмет с одной стороны или с разных. Словарные толкования прилагательных современный ('стоящий на уровне своего века, отвечающий требованиям своего времени') и актуальный ('важный, существенный для решения проблем, задач настоящего времени; насущный, злободневный, современный') говорят о том, что эти определения однородны, а значит, запятая между ними нужна.

Слово безоблачный образовано приставочным способом от слова облачный. Прилагательные с приставкой без- (орфографически также бес-) имеют значение ‘характеризующийся отсутствием того, что названо словом, от которого в свою очередь образовано суффиксальное производящее прилагательное’. Безоблачный ― 'характеризующийся отсутствием облаков’: облако → облачный → безоблачный. Ср: солнце → солнечный → бессолнечный, листва → лиственный → безлиственный, люди → людный → безлюдный и т. п.

Возможны оба варианта — как с запятой, так и без нее. Определения большой и интересный характеризуют предмет с разных сторон, то есть являются неоднородными, однако в условиях контекста могут объединяться сходством производимого ими впечатления и становиться однородными. Сравним примеры, приведенные в пункте 3 параграфа 10.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя: нитчатые, изумрудно-зелёные водоросли; лунный, ясный вечер; густой, чёрный дым; бледное, строгое лицо и т. д.

Корректно с тире: врач – стоматолог-ортопед,  врач – анестезиолог-реаниматолог; врач – детский эндокринолог. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник. М., 2006. Параграф 154, п. 1, 2.

Согласование по смыслу (моя врач) возможно в разговорной речи. В письменной официальной и нейтрально-деловой речи определение согласуют с определяемым существительным по внешней форме: мой врач. Предпочтительно: мой врач прописал...

Корректен первый вариант, второй нет. Придать чему-то или кому-то можно какое-то свойство, качество, особенность, то есть то, что является неотъемлемой характеристикой (придать храбрости, сил, бодрости, уверенности;  придать вкус, блеск, детали нужный изгиб, модели форму ромба, документу законную форму, зданию новый облик, лицу строгое выражение). Также придать — это приписать кому-, чему-л. какое-л. значение, важность и т.п. (придать значение этим словам, важности сообщению). Огласка не является характеристикой факта, ее невозможно приписать чему-то.

Дело в том, что в предложении "Он не врач" отрицательная частица относится не к существительному врач, а к отсутствующему глаголу-связке "быть" в составе именного сказуемого; он не (есть) врач, ср.: он не был врачом.

Такие сочетания пишутся через дефис (как сочетания с приложением): врач-терапевт, врач-стоматолог, врач-ортопед и т. д. Если же вторая часть (обозначение специализации врача) в свою очередь является сочетанием с приложением и содержит дефис, то после слова врач употребляется тире: врач – стоматолог-ортопед, врач – акушер-гинеколог.

Ваш вопрос очень интересный и важный, потому что история слова входит в комплекс факторов, на основании которых лингвисты определяют норму написания. Слово пока не зафиксировано академическим орфографическим словарем (оно, конечно, сниженное, но словарь фиксирует и такие слова). Изучение его истории требует времени. Мы сможем дать ответ на Ваш вопрос после исследования. А пока отметим, что предварительная рекомендация орфографистов — писать это слово слитно. Один из факторов, влияющих на написание слова, — аналогия с синонимичным и однокоренным похоже.