Корректно через дефис: сотрудница-болгарка.
Да, существительное гриль-сезон пишется через дефис, аналогично существительным гриль-бар или гриль-печь (см. словари на нашем портале).
Корректно дефисное написание: проектировочно-прогностический.
В зависимости от смысла, вкладываемого в это определение, возможны варианты написания: нагло-озорной (наглый и озорной), нагло озорной (озорной до наглости).
Такая конструкция носит разговорно-сниженный стилистический оттенок. Нейтральны и общеупотребительны привиеденные Вами варианты: через некоторое время, через какое-то время.
Крем-пудра – существительное женского рода, склоняется только вторая часть: Я всегда пользуюсь этой замечательной крем-пудрой.
Названия факультетов пишутся строчными буквами: факультет сценографии и театральной технологии.
