Верно: чашка с вкладышем.

Предлог со употребляется:

1) перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный] или с согласного [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами;

2) перед формами родительного и творительного падежа слов лев, лёд, лён, лоб, мох, ров, рот: схватка со львом, виски со льдом;

3) со словами мной, мною;

4) перед формами слов вошь, весь, всякий, всяческий, вторник, второе, второй, многие, многое: со всяким встречным,со многими людьми;

Предлог со употребляется в устойчивых сочетаниях: со вкусом (делать что-либо); со вниманием (в знач. 'внимательно': выслушать со вниманием); со временем (в знач. 'в будущем': со временем все наладится); со двора(уйти); со дня на день (в знач. 'скоро'), со дня (в знач. начальной точки отсчета времени: со дня свадьбы прошло два месяца), со дна (достать).

С переносом ударения предлог со употребляется в сочетаниях: со свету (сжить), со смеху (помереть), со ста (сдача).

Перед формами слова вчерашний могут употребляться оба предлога – с и со: с вчерашнего дня и со вчерашнего дня.

Ответить на Ваш вопрос мы попросили проф. М. Я. Дымарского.

Прежде всего нужно сказать, что подобные фразы носят разговорный характер и не вполне отвечают требованиям литературной нормы. То же относится к фразам типа «В школе двадцать один работают отличные учителя». Во всех подобных случаях должно использоваться не количественное, а порядковое числительное (шестой трамвай, двадцать первая школа). Если есть необходимость использовать именно количественное числительное (то есть, попросту говоря, если лень образовывать порядковое), на помощь приходит слово номер: Еду в трамвае номер шесть, В школе номер двадцать один. То же касается, например, номеров рейсов при объявлении посадки на них или об их прибытии в аэропортах.

Однако независимо от того, какая модель определения использована, это в любом случае определение: и к сущ. трамвай, и к сущ. школа, и к сущ. рейс. При выражении порядковым числительным это согласованное определение, при выражении количественным числительным (в том числе в сочетании со словом номер) это несогласованное определение. Связь с определяемым существительным в этом случае квалифицируется как номинативное примыкание (от лат. nominativ — именительный падеж).

Простите, пожалуйста, за долгий ответ! Через дефис пишутся, во-первых, сложносоставные существительные (плащ-палатка, кран-балка, диван-кровать). Первая часть таких слов не склоняется (плащ-палаткой, кран-балкой, диван-кроватью). В сложносоставных словах между частями есть очень тесная связь, которая и позволяет не склонять первое слово. Во-вторых, дефисное написание имеют конструкции, представляющие собой сочетание определяемого слова с приложением, то есть согласованным определением, выраженным существительным (художник-маринист, инженер-экономист и т. д.). В этом случае склоняются обе части: художником-маринистом, инженером-экономистом. В приведенных примерах мы имеем дело именно с этим случаем, соответственно по правилам мы должны склонять обе части: «Зенита-Казани», «Зенитом-Казанью» и т. д. Это соответствует и реальной языковой практике. Например, новости на канале Sport24 выглядят так: Сегодня, 15 сентября, состоится матч 1-го тура группы А на Кубке Победы между «Зенитом-Казанью» и кемеровским «Кузбассом», и таких примеров много. Хотя надо отметить, что пишущие часто избегают косвенных падежных форм этих конструкций, предпочитая другие варианты формулировок (например, ...между казанским «Зенитом»).

Что касается названия, состоящего из двух слов, то обе его части, конечно, должны склоняться.

Верно: с вдетыми нитками.

Предлог со употребляется:
1) перед словами, начинающимися с сочетаний [с, з, ш, ж + согласный] или с согласного [щ]: со ста, со славой, со звездой, со шкафа, со жгутом, со щами;
2) перед формами родительного и творительного падежа слов лев, лёд, лён, лоб, мох, ров, рот: схватка со львом, виски со льдом;
3) со словами мной, мною;
4) перед формами слов вошь, весь, всякий, всяческий, вторник, второе, второй, многие, многое: со всяким встречным, со многими людьми;
5) в устойчивых сочетаниях: со вкусом (делать что-либо); со вниманием (в знач. 'внимательно': выслушать со вниманием); со временем (в знач. 'в будущем': со временем всё наладится); со двора (уйти); со дня на день (в знач. 'скоро'), со дня (в знач. начальной точки отсчета времени: со дня свадьбы прошло два месяца), со дна (достать).

С переносом ударения предлог со употребляется в сочетаниях: со свету (сжить), со смеху (помереть), со ста (сдача).

Перед формами слова вчерашний могут употребляться оба предлога — с и со: с вчерашнего дня и со вчерашнего дня.

Полагаем, что действует то же правило, то есть следует писать прописное С: ...Стою близ моря на скале; / Стою, задумчивость питая.

Что касается выбора варианта, вопрос не очень понятен, так как надо  представлять себе, что это за учебное пособие, как оформлены другие материалы. Мы бы, наверное, выбрали такой вариант: «Я здесь стою близ моря на скале; / Стою, задумчивость питая». Особые правила цитирования стихотворных текстов нам неизвестны (кроме того, что эти тексты можно набирать в подбор, показывая разбиение на строки косой чертой). Точность цитат одинакова для всех изданий (если только это не намеренное искажение текста или автор не хочет подчеркнуть, что он или его персонаж вспоминает цитату: «Что-то там, тати-тата…»). Единственное, что в обучающих изданиях, где цитат очень много, они, полагаем, не всегда нуждаются во внутритекстовых или постраничных ссылках на источник, но библиографический список в конце нужен, хотя бы потому, что, прочитав цитату, скажем, из Пушкина, читатель может удивиться, не найдя приведенные строки в своем издании, поскольку текст цитировался по другому собранию сочинений.

См. в Справочнике по фразеологии.

Возможны оба варианта, но употребительнее - с предлогом НА.

В — НА (предлоги; при указании местонахождения, направления движения, сферы деятельности, средств передвижения).
1. Предлоги совпадают в значении: слёзы в / на глазах; стук ножей в / на кухне.
2. Предлоги различаются:
1) оттенками значения: смотреть в небо [в одну точку] — смотреть на небо [охватывать взглядом большую поверхность];
2) частотой употребления: работать в / на поле (чаще употребляется конструкция с в); растёт на / в огороде (чаще употребляется конструкция с в); при обозначении средств транспорта чаще употребляется предлог на: ехать на машине, на трамвае, на автобусе, на поезде, прилететь на самолёте;
3) профессиональным или устарелым характером одного из словосочетаний: в речном флоте — служить на флоте (проф.); работать в театре — работать на театре (устар., проф.); были на концерте — были в концерте (устар.); на киностудии — в телерадиостудии;
4) закрепленностью в устойчивых оборотах: жить в селе — первый на селе работник (устойчивое сочетание; ср.: уехать на село, жить на селе);
5) сочетаемостью с определенными словами: в комбинате бытового обслуживания — на мясокомбинате; в спортивных играх — на Олимпийских играх; в военном стане (устар.) — на полевом стане; был в Крыму, в Подмосковье, на Смоленщине, на Кавказе, на Дальнем Востоке.

Разберем написание и склонение на примере реальных названий звезд.

Главную трудность представляет собой написание слов альфа, бета, омега и др. — с прописной или строчной буквы? Авторы «Русского правописания с комментариями» Е. В. Арутюнова, Е. В. Бешенкова, О. Е. Иванова отмечают:

«В правилах и орфографических словарях была закреплена норма, сложившаяся в узусе к середине ХХ в., — писать порядковые обозначения светил, выраженные словом (альфа, бета, гамма и т. п.), со строчной буквы, напр.: альфа Малой Медведицы, бета Весов (см., например, [Правила 1956; Розенталь 1984; Правила 2006, РОС; Академос]). Однако данная норма оказалась неустойчивой, что отчасти было обусловлено малой известностью букв греческого алфавита дальше дельты. Постепенно в названиях звезд, а также в соотносимых с ними названиях метеорных потоков, первое слово стали писать по правилу с прописной буквы в текстах всех стилей: звезды Альфа Центавра, Дзета Кормы, Тау Кита, Омега Дракона, Ню Козерога; метеорные потоки Альфа-Центавриды, Дельта-Леониды, Гамма-Нормиды».

Что касается склонения, то в сочетаниях типа Альфа Центавра, Омега Дракона представлена такая синтаксическая связь: [звезда] Альфа (чего?) [созвездия] Центавра. При изменении главного слова зависимое слово не меняется: прибыл к Альфе Центавра, к Омеге Дракона; свет дошел от Альфы Центавра, от Омеги Дракона.

Сочетание чн, как правило, произносится в соответствии с написанием, т. е. [чн]: то[чн]ый, про[чн]ый, поро[чн]ый, Мле[чн]ый путь и т. д.

Однако в некоторых словах чн произносится как [шн]. Вот самые частотные слова, где произносится [шн]: конечно – коне[шн]о, скучно – ску[шн]о, нарочно – наро[шн]о, яичница – яи[шн]ица, пустячный – пустя[шн]ый, скворечник – скворе[шн]ик. Произношение этих слов нужно запомнить. Кроме того, [шн] на месте чн произносится в женских отчествах на -ична: Никити[шн]а, Ильини[шн]а. В некоторых словах возможны варианты: булочная – було[чн]ая и було[шн]ая, прачечная – праче[чн]ая и праче[шн]ая.

Необходимо отметить, что в русском языке наблюдается тенденция к замене произношения [шн] произношением [чн]. Число слов, где чн произносится как [шн], неуклонно сокращается. Раньше говорили кори[шн]евый (сейчас такое произношение уже не допускается), моло[шн]ый, гре[шн]евая (каша), сливо[шн]ый (сейчас такое произношение признается устаревшим, но пока еще допустимым). В новых словах на месте чн произносится только [чн].

Сочетание чт всегда произносится в соответствии с написанием, т. е. [чт]. И только в слове что и производных от него (чтобы, кое-что, что-то, ничто и т. д.) произносится [шт]. Исключение из этого исключения – слово нечто, где произносится [чт].

Патронаж (от франц. patronage – покровительство, попечительство) – 1) книжное, устарелое: то же, что патронат; покровительство: Боясь сначала смиренной роли наших соотечественников и патронажа великих людей… (Герцен); 2) система медицинского обслуживания больных и детей раннего возраста в домашних условиях: патронаж беременных и детей; патронаж психических больных.
Патронат (позднелат. patronatus, от лат. patronus – покровитель) – 1) особая форма покровительства в Древнем Риме; 2) вообще покровительство со стороны кого-нибудь; 3) в СССР: воспитание детей-сирот и детей, потерявших связь с родителями, в семьях трудящихся под контролем государственных организаций.
Третье значение слова патронат (под номером 2) зафиксировано и в МАС, в «Словаре русского языка» С. И. Ожегова (1989). В словаре Ожегова слово патронаж зафиксировано только в одном значении – «регулярное оказание лечебно-профилактической помощи на дому новорожденным и некоторым категориям больных».
В 90-е годы прошлого столетия под влиянием социальных факторов происходит актуализация книжного устарелого значения слова патронаж (= покровительство). В «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой (М., 1997) зафиксированы как устойчивые выражения под патронажем кого - то же, что под патронатом, под патронатом кого – под постоянным наблюдением, содействием и руководством.
Таким образом, слово патронаж действительно в одном из значений связано с медициной. Однако выражения под патронажем и под патронатом употребляются равноправно, они синонимичны, их значение – «под наблюдением, содействием и руководством кого-либо, чего-либо».