Оба варианта возможны. Сочетание в этой связи просторечным не является (см. его фиксацию в словарях: Правильность русской речи / Под ред. С. И. Ожегова. М., 1965, с. 184; Трудности словоупотребления и варианты норм русского литературного языка / Под ред. К. С. Горбачевича. Л., 1974, с. 401; Большой толковый словарь / Под ред. С. А. Кузнецова. СПб., 1999, с. 1164). Соответствуя норме современного русского литературного языка, это устойчивое cочетание употребляется как наречие со значением 'связывая со сказанным выше' и служит своеобразной формулой перехода от одной мысли к другой.

Важно иметь в виду, что выражение в этой связи характерно прежде всего для публицистики.

Единства в словарных рекомендациях нет. «Грамматический словарь русского языка» А. А. Зализняка (5-е изд. М., 2008) и «Словарь трудностей русского языка» Н. А. Еськовой (М., 2014) фиксируют только вариант манжета во всех значениях. «Русский орфографический словарь» РАН (4-е изд. М., 2012) фиксирует: манжета (как технический термин), но: манжета и манжет (обшлаг, отворот). А «Большой академический словарь русского языка» (Т. 9. М., СПб., 2007) и «Большой толковый словарь русского языка» С. А. Кузнецова дают варианты манжета и манжет как равноправные во всех значениях.

Таким образом, однозначно можно утверждать только одно: вариант манжета  – правильный (независимо от значения этого слова). Признавать или нет вариант манжет нормативным – в этом у лингвистов единой позиции пока нет. 

Прилагательные высокотехнологический и высокотехнологичный — словообразовательные синонимы. Об этом сообщает издание «Новые слова и значения: словарь-справочник по материалам прессы и литературы 80-х годов» (под ред. Е. А. Левашова; СПб., 1997), в котором прилагательные были впервые представлены. Значение двух неологизмов толкуется лаконично : «Связанный с использованием сложных технологий». Словообразовательные синонимы имеют грамматическое отличие: первое прилагательное не образует кратких форм, а второе прилагательное может употребляться в краткой форме (высокотехнологичен, высокотехнологична, высокотехнологично, высокотехнологичны). Эти сведения содержат и материалы словарей, размещенных на нашем портале. Добавим: краткая форма прилагательного свидетельствует о том, что словом могут выражаться качественные признаки (ср. 'обладающий высоким уровнем возможностей / функциональности', 'передовой, усовершенствованный').

Можно написать: звание игрока года; звание "игрок года".

Нет, мать по-прежнему стилистически нейтральное, общеупотребительное слово. Его вполне можно использовать в устной и письменной речи.

У нас такой же результат!

Верно: (откуда?) с Украины.

Правильно: Мумбаи (это несклоняемое существительное). Именно такой вариант фиксируют современные лексикографические издания, в их числе: словарь Ф. Л. Агеенко «Собственные имена в русском языке» (М., 2001), «Словарь образцового русского ударения» М. А. Штудинера (М., 2005) и др.

Разнобой в написании и наличие варианта Мумбай объясняется влиянием прежнего названия – Бомбей, а также тем обстоятельством, что подобные несклоняемые названия для русского языка нехарактерны.

Мы не выполняем домашние задания.