Правильно: аудиовидеозапись; аудио- и видеозапись.
Запятая после и не нужна.
Запятая перед и вот нужна.
Корректно: наступят тепло и спокойствие.
Форма коньми неправильна, конечно. У существительных в тв. падеже мн. числа стандартное окончание — -ами(-ями), но у некоторых слов окончание нестандартное — (ь)ми.
Варианты окончания -ами(-ями) / -(ь)ми в древности принадлежали разным типам склонения имен существительных. Однако после унификации склонения существительных во мн. числе для всех слов нормативным стало окончание -ами(-ями). И лишь у нескольких слов в современном русском языке возможно окончание -(ь)ми. У слова дети форма детьми единственно возможная. В парах дверями – дверьми, лошадями – лошадьми, дочерями – дочерьми возможны оба варианта, причем более употребительно окончание -(ь)ми. У слова звери предпочтительным считается форма зверями; вариант зверьми рассматривается как устаревающий. Кроме этого, у слов кость и плеть при нормативных формах костями, плетями формы на -(ь)ми сохраняются в устойчивых сочетаниях лечь костьми, бить плетьми.
Корректно: В связи с поломкой просим поменять кресло И. И. Иванова.
Лучше: Ваше время и ваши нервы.
Предпочтительно: аптеки четвертой и пятой категории.
Правильно: между младшим и старшим ребенком.
Правильно: и т. д. (с пробелом).
