Основной вариант: К ним пришел молодой врач. Если автору важно подчеркнуть, что это женщина, и по контексту других способов нет (например, нет имени собственного), то возможно: К ним пришла молодая врач. Правила см. в "Письмовнике".
Если это вопросительное предложение, то да, конечно, ставится.
У местоимения его род не определяется.
Верно без запятой: Они разговаривали с ним как с хорошо знакомым человеком. В этом случае оборот с союзом как употреблен при сказуемом, требующем конкретизации, имеет значение отождествления или приравнивания, как в примерах: Вот почему она смотрела на землю как на юдоль скорби (Нов.-Пр.); Она воспринимала мать как старшую сестру и т. п. См. параграф 90 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Глагол довлеть произошел от унаследованного русским литературным языком старославянского глагола довлети, означавшего 'быть достаточным, хватать'. В первоначальном значении этот глагол употребляется в евангельском выражении довлеет дневи злоба его, переводимом 'хватает на каждый день своей заботы, довольно для каждого дня своей заботы' (отсюда и устойчивое сочетание злоба дня – повседневная забота, нужда данного момента, требующая немедленного удовлетворения; потом и прилагательное злободневный).
Слово довлеет встречается и в другом устойчивом выражении – довлеть самому (самой) себе, означающем 'зависеть в своем существовании и развитии только от себя', например: природа сама себе довлеет. Отсюда прилагательное самодовлеющий – 'достаточно значительный сам по себе, имеющий вполне самостоятельную ценность'.
Однако в XX веке у глагола довлеть возникло совершенно новое значение – 'тяготеть, преобладать, господствовать'. Вот как об этом пишет Л. Успенский в книге «Слово о словах»:
«Нам, особенно не знающим древнеславянского языка, "довлеть" по звучанию напоминает "давить", "давление", - слова совсем другого корня. В результате этого чисто внешнего сходства произошла путаница. Теперь даже очень хорошие знатоки русского языка то и дело употребляют (притом и в печати) глагол "дОвлеть" вместо сочетания слов "оказывать дАвление":
"Гитлеровская Германия довлела над своими союзниками".
"Над руководителями треста довлеет одна мысль: как бы не произошло затоваривания..."
В этих случаях "довлеет" значит уже "давит", "висит", "угнетает", - все что угодно, только не "является достаточным".
По поводу этого обстоятельства в нашей прессе возникли бурные споры. Писатель Ф. Гладков опротестовал подобное понимание слова, совершенно справедливо считая его результатом прямой ошибки, неосведомленности в славянском языке. Казалось бы, он совершенно прав.
Однако посыпались возражения. Старое древнеславянское значение слова забылось, говорили многие, утвердилось новое. Какое нам дело до того, что "довлеть" значило во дни Гостомысла? Теперь оно значит другое, и смешно возражать против этого. Подобные превращения происходят в языке постоянно...»
Таким образом, новое значение глагола довлеть постепенно прижилось в русском языке. Сейчас говорить довлеть над кем-то в значении 'господствовать, тяготеть' допустимо, употребление соответствует норме. Но управление еще испытывает колебания в стилистическом плане. Так, довлеть над кем-чем отмечено как нейтральное в "Толковом словаре русского языка" С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой, но с пометой "разговорное" в "Большом толковом словаре русского языка" под редакцией С. А. Кузнецова.
Подробно об истории этого слова можно прочитать в книге: В. В. Виноградов. История слов. М., 1994.
Предлог по в значении 'после чего-либо' употребляется с предложным падежом: по истечении срока, по окончании мероприятия. Но ср.: судить о форме этого слова надо не только по суффиксу, но и по окончанию.
Запятая нужна: она отделяет придаточную часть сложноподчиненного предложения — в данном случае придаточное изъяснительное, зависящее от глагола понимаю.
