Указанные запятые не нужны.
Слово республика в данном случае пишется со строчной буквы. Написание с прописной правильно в полном официальном названии.
Корректно: в этом году.
Правильно: под управлением Тихоновой.
В «Морфемно-орфографическом словаре русского языка» А. Н. Тихонова (М., 1996) в слове родник корень -род- не выделяется, корнем считается все слово. Однако этимологически слова род, родить, родник связаны. Существительное родник исторически образовалось от родный 'рождающий'. Родник мыслился как источник, рождающий реку.
Правильно: работать под автомобилем, стоящим на домкрате, запрещено.
Желательно использовать сочетание с родовым словом: автомобиль Mitsubishi был куплен...
Фразеологизм стричь (всех) под одну гребёнку зафиксирован во множестве фразеологических словарей без каких бы то ни было стилистических помет. Выражение грести под одну гребёнку словарями не отмечается.
Лучше: принимать душ.