Корректно: Семейный праздник, который прошёл вчера. Конструкция  праздник, что прошел вчера носит разговорный характер. 

Мужские и женские фамилии на -а, -я неударное, как правило, склоняются (песни Булата Окуджавы, прогнозы Павла Глобы, фильмы Анджея Вайды). Однако в тех случаях, когда фамилия совпадает с нарицательным существительным, допускается ее несклонение. 

Окончание зависит от падежной формы: находящемся — форма предложного падежа (о проекте, находящемся в разработке); находящимся  — форма творительного падежа (коллегой, находящимся в командировке).

Этимологическое гнездо — это совокупность слов, происходящих из одного корня в системе одного языка. Этимологическое гнездо называют также историческим корневым гнездом. Однако корневым гнездом могут называть и совокупность слов, объединенных общим корнем с точки зрения синхронного языкового среза.  

Нет, эти слова этимологически не родственны. Для более подробного изучения этого вопроса можно обратиться к этимологическим словарям. 

Вторая запятая нужна: Наталия Тарасова, научный сотрудник Иркутского областного художественного музея им. В. П. Сукачёва, расскажет о цифровом искусстве, мировых трендах в этом направлении. Обособляется приложение научный сотрудник Иркутского областного художественного музея им. В. П. Сукачёва, стоящее после определяемого слова.

Написание в кавычках с прописной уместно в том случае, если название используется как торговое (на ценнике, в меню и т. д.). В остальных случаях правильно строчными без кавычек: суп куриный, суп гороховый с копченостями и т. д.

Да, в словосочетании "сырье российского производства" слово "российского" пишется со строчной буквы.  

Да, слова сказка и сказывать являются однокоренными. Оба эти слова восходят к общему корню сказ-: сказка — жанр устного народного творчества, а сказывать — это глагол, обозначающий процесс рассказа.

Правильно: Золото всегда было для людей больше чем просто металлом.