По данным Орфографического академического ресурса «Академос» все перечисленные сочетания следует писать со строчной буквы: декартова система координат, декартово произведение, декартов лист.
Этот вопрос не регламентируется правилами правописания. Его лучше задать классному руководителю, т. к. требования к ведению дневника в разных образовательных организациях могут быть разными.
При официальном титуловании иерарха прописные буквы в сочетании Патриарх Константинопольский нужны. Правильно: разделение церквей на католическую и православную.
Верно: в созвездии Орион, в созвездии Большая Медведица.
Если слово "уголь" используется в значении "вещество", а не "куски обгоревшего дерева", то нужно использовать форму ед. ч.: марок угля.
Предпочтительно: храм посещает большое количество людей.
Мужская фамилия Горлан склоняется (независимо от места ударения в ней), женская – нет.
Правильно: Интернет.
Существует буквальный перевод: связи с общественностью.
