Вариант хештег «спорт», хештег «здоровье», хештег «мотивация» вполне корректен. Вместо кавычек можно использовать иные приемы выделения, например: хештег спорт, хештег здоровье, хештег мотивация.

Орфографический словарь дает два варианта: занЯлся и занялсЯ. Более строгий словарь «Русского словесное ударение» — вариант занялсЯ.

Таким образом, вариант с ударением на последний слог следует признать однозначно верным. С ударением на второй слог — допустимым. Вариант с первым ударным слогом некорректен.

Вы правы: обращают внимание на что-либо или на кого-либо. Поэтому в сложном предложении типично соединение обращать внимание на то, что. В речи, предполагающей соблюдение норм литературного языка, предпочтительна именно эта версия конструкции, включающая предложную часть на то. Вместе с тем распространенность конструкции, ее частое использование в устной разговорной речи способствовали и ее урезанию, или сокращению. Возможно, так проявила себя языковая закономерность, которую лингвисты называют экономией речевых усилий. Итак, представляется, что вариант конструкции без предложной части на то более всего свойственен разговорной речи. Но не стоит упускать из вида и то, что высказывания могут отличаться коммуникативными и смысловыми особенностями, что влияет и на состав обсуждаемой конструкции. В частности, выражение обратите внимание употребляется как самодостаточный призыв к слушателям. Подведем итоги нашего обсуждения: при выборе и оценке конструкции принимаем во внимание стилистические характеристики текстов, смысловые и коммуникативные особенности предложений и даже, что не всегда напрасно, авторские предпочтения.

В предложении Книга была длинная, но интересная одно сказуемое со связкой была и однородными именными частями. Предложения Подпустить врага и огонь дать по команде! и Встань и иди сложные: в каждом из них две грамматические основы. В первом случае это односоставные инфинитивные, во втором — односоставные определенно-личные предложения.

О категории падежа и склонении существительных читайте в пособии Е. И. Литневской.

Возможно раздельное и слитное написание. Запятая ставится.

В заголовках и подзаголовках (рубриках), действительно, не ставят точки. Однако в школе эта практика обычно противоположна - точки ставят, чтобы привить ученикам мысль о необходимости точки в конце предложения (для унификации). 

В предложении знаки препинания расставлены правильно. 

Правильно: пресс-клипинг. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Нормативна только одна форма деепричастия от глагола пить – пив. Фраза пив сок, он поперхнулся  грамматически верна, хотя в живой речи вряд ли употребима.