Это наречие. Но в русском языке есть большое количество наречий (наречных сочетаний), образованных из предложно-падежных форм существительных, написание которых (слитное либо раздельное) определяется лишь письменной традицией и проверяется по орфографическому словарю. К таким наречиям относится и в придачу. Его написание просто нужно запомнить.

Это устаревшее употребление предлога о (при характеристике кого-, чего-л. путем указания на количество входящих в него или составляющих его частей, деталей, элементов и т. п.). В современных текстах предлог о используют в этом значении для стилизации, имитации народной речи либо в ироническом смысле.

Запятых в предложении не требуется: Как с помощью чашечных весов без гирь не более чем за три взвешивания определить фальшивую монету? Обстоятельства с помощью чашечных весов без гирь (каким способом?) и не более чем за три взвешивания (за какое количество шагов?) неоднородны.

У этих фраз разный смысл. Фраза дайте Х билетов означает, что Вы хотите приобрести Х билетов, при этом неясно, о билетах на какое количество поездок идет речь (возможно, Вы хотите приобрести Х билетов на 1 поездку, а может быть, Х билетов на  10 поездок каждый).

Как бы мы ни относились к вариантности в орфографии, она существует по объективным причинам. Безусловно, количество вариативно пишущихся слов (в соответствии с правилами и словарными рекомендациями или из-за отсутствия кодификации) сейчас невелико. Кодификаторская работа языковедов на протяжении более века была направлена на унификацию, устранение вариантов.

Большой толковый словарь

В качестве официального титула: Его Величество король такой-то.

Вы проводите аналогию с кубом, но объем – это не только 'величина чего-либо в длину, высоту и ширину, которая измеряется в кубических единицах', но и 'вообще величина, количество, размеры чего-либо'. Впрочем, и в этом значении неудачно: снизить, повысить объем, предпочтительно: уменьшить, сократить объем и увеличить, расширить объем.