Корректно: На вопрос "почему?" отвечают...
Возможны оба варианта: вопрос по и вопрос о. Предлог по используется, когда указывается сфера, которой касается вопрос (так, вопрос по математике может касаться способа вычислений и т. п.). Предлог о употребляют, когда спрашивают о самом предмете (вопрос о математике может касаться, например, истории возникновения науки). То же и в случае с менеджментом.
Предложение Вам решать, о чем читать корректно.
Если это все предложение, то тире нужно. Если это часть предложения, пунктуация зависит от контекста.
Предпочтительно: задали.
Склоняется мужская фамилия: Рогочий, Рогочия, Рогочию, Рогочия, Рогочием, о Рогочии. Женская фамилия не склоняется.
Варианты дверями и дверьми равноправны.
Корректно без запятой: Правда странный вопрос?
