Правильно слитное написание. Наречие втайне (то же, что «тайно») пишется слитно. Раздельно пишется сочетание предлога с существительным в тайне, ср.: сохранить план в тайне.
В значении "на планету" правильно: на Землю, на Солнце, на Марс и т. д.
Да, слово Луна как астрономический термин – название спутника Земли – является именем собственным и пишется с прописной буквы. Однако в нетерминологическом значении, а также в значении 'спутник любой планеты' луна – нарицательное существительное: ничто не вечно под луной; две луны Марса.
Названия спутников (космических аппаратов) пишут в кавычках с большой буквы.
Верно: не теряйте самообладания.
Правильно: на Тайване.
Запятая нужна.
Несклоняемая первая часть сложного слова присоединяется дефисом: спайси-соус. Но: соус спайси.
Корректно с дефисом: бесцентрово-шлифовальный. См. словарную фиксацию.
Это так называемое эллиптическое предложение (самостоятельно употребляемое предложение с отсутствующим сказуемым). Тире в таких предложениях ставится при наличии паузы.
