Глаголы оговорить и обговорить различаются по значению и стилистической окраске. Глагол оговорить ('заранее условиться о чем-либо') стилистически нейтральный, глагол обговорить ('обсудить') – разговорный.

В нейтральном контексте в знач. 'о сроках поставок заранее условились': оговорены.

Также с большой.

Склонять приложение в этом случае не нужно, но, конечно, назвать такое употребление стилистически нейтральным нельзя.

Нейтральный вариант: страдание – страдания, желание – желания. Разговорный и поэтический вариант: страданье –  страданья, желанье – желанья.

Вариантные формы на -ие и на -ье есть у большого количества слов, ср.: проклятие – проклятье, спасение – спасенье, возвращение – возвращенье, признание – признанье, молчание – молчанье и т. п. При этом формы на -ие обычно являются общеупотребительными и стилистически нейтральными, а формы на -ье характерны для разговорной и поэтической речи (хотя может быть наоборот, ср. счастье – общеупотребительный вариант, счастие – устаревший, встречающийся в поэтических текстах).

Названия должностей, званий, титулов пишутся строчными. Поэтому в нейтральном употреблении для прописной буквы нет оснований.

Но вполне можно предположить, что контекст не нейтральный, тогда такой категоричный ответ не подходит. В обращении профессор вместо обращения по имени и отчеству видится намек на какую-то языковую игру или на дружеские взаимоотношения, а в рамках такой игры или в разных стилистических целях прописная буква может быть уместна (например, в шутку подчеркнуть особый высокий смысл, вкладываемый в слово профессор, и т. д.).

Слово центральный, начинающее официальное составное наименование, следует писать с прописной буквы.

Словари отмечают врать как разговорное слово. Лгать и обманывать - стилистически нейтральные варианты. Вы можете обратиться к любому нормативному толковому словарю русского литературного языка, изданному в последнее десятилетие.