Лучше писать слитно.
Правила правописания не регламентируют этот вопрос. Как собственные наименования предпочтительно писать с прописной: дом Семьи, дом Договоров и т. д.
Лучше использовать кавычки разного рисунка. Предпочтительно: Некоммерческая организация «ПИК "Строим вместе"». Допустимо: Некоммерческая организация "ПИК "Строим вместе".
Притяжательное прилагательное куклин в литературном языке неупотребительно.
Верно: Кот просил мяса.
Правильно: 2-этажный дом.
Правильно: Дом культуры «Олимп».
Да, такие мужские фамилии склоняются, например: Сергея Бондарчука.
Да, склоняются.
Такого требования к однородным инфинитивам, входящим в составное глагольное сказуемое, нет. При этом наличие общего зависимого слова при глаголах с разным управлением является ошибкой.