В этом значении верно: прилагает руку.
Это конструкция, эквивалентная сложноподчиненному предложению без соотносительного слова. В таких конструкциях, как указано в пункте 6 раздела 21 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя, запятая может не ставиться «при отсутствии интонационного отделения». Сравним: Надо играть на гитаре так, как учит Юрий — в этом случае, при наличии соотносительного слова, запятая ставится обязательно.
Верно: обратила внимание на наложенную на левую руку повязку.
См. в «Словаре трудностей».
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
Правильно: в назидание всем нечистым на руку.
Имеется в виду слово гантель? Правильно: в каждую руку по гантели.
Правильно: смелют (окончание глагола первого спряжения).
