Такие предложения допускают двоякую трактовку.

Первая: занятие — подлежащее, рыбачить — сказуемое. Такое чтение опирается на порядок слов, который отражает смысловое развертывание (тема воспринимается как подлежащее, рема — как сказуемое).

Вторая: противоположная. Дело в том, что грамматическим признаком именного сказуемого является его способность принимать форму не только именительного, но и творительного падежа. Именно эту способность демонстрирует занятие: Моим любимым занятием было рыбачить по утрам.

Тот факт, что в теме предложения при этом оказывается не подлежащее, а сказуемое, нисколько не противоречит всему, что мы знаем об актуальном членении предложения: в теме может оказаться что угодно.

Первую, преимущественно коммуникативную, трактовку можно рекомендовать для знакомства с предложением на элементарном уровне; вторую же, преимущественно грамматическую, — для тех, кому не лень разбираться в тонкостях.

Сочетания допустимы. При выборе примите во внимание их смысловые отличия. Сочетание с предлогом в способно актуализировать идею условий, в которых проводятся занятия (ср. аналогичные обороты: занятия в аудитории, в учебном классе, в лаборатории). Сочетание с предлогом по может подчеркивать инструментальное предназначение технических средств и компьютерных программ, используемых в условиях удаленного обучения (ср. выражения проводить занятия по видеосвязи, по телефону).

В официально-деловом и научном стилях речи имена существительные мужского рода, обозначающие лицо по профессии, занимаемой должности, выполняемой работе, занятию, ученому или почетному званию и т. д., сохраняют свою форму и в тех случаях, когда относятся к лицам женского пола. При этом 

— необособленное определение ставится в форме мужского рода (даже при наличии в предложении собственного имени): В журнале «Знамя» появился новый автор Н. Петрова. Уже известный читателям автор Н. Петрова предложила новую статью;

— обособленное определение ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Автор Н. Петрова, уже известная читателям, предложила новую статью;

— определение-причастие ставится в форме женского рода независимо от порядка слов: Предложившая новую статью автор Н. Петрова уже известна читателям. Автор Н. Петрова, предложившая новую статью, уже известна читателям; 

— сказуемое в книжно-письменных стилях (особенно в строгой официально-деловой речи) ставится в форме мужского рода: 1) при отсутствии собственного имени; 2) если сказуемое предшествует сочетанию «рассматриваемое слово + собственное имя»: Диссертант изложил интересные наблюдения. Уже известный читателям автор предложил новую статью. Увлекательные заметки предложил редакции известный автор Н. Петрова;

— сказуемое ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Автор Н. Петрова предложила редакции увлекательные заметки. Диссертант Иванова изложила интересные наблюдения;

— сказуемое может быть поставлено в женском роде, если его форма является единственным показателем того, что речь идет о женщине, а пишущему важно это подчеркнуть: Автор – штурман авиационного женского полка ночных бомбардировщиков – посвятила свою повесть памяти боевых подруг.

Постановка определения или сказуемого в форме женского рода в условиях, не отвечающих перечисленным выше, свойственна разговорному стилю.

Оба варианта корректны. 

Слово желательно не является вводным, запятая не требуется.

Ударение падает на первый слог: за́нятая комната.

Это зимний бассейн для плавания. Это — подлежащее, бассейн — составное именное сказуемое (связка нулевая). Зимний — согласованное определение, для плавания — несогласованное.
Слева находится футбольное поле с беговой дорожкой. Строго говоря, это односоставное номинативное предложение с полузнаменательной связкой вместо формальной, но в школе оно будет двусоставным, сказуемое — находится. Подлежащее — поле. Остальное — определения (кроме слева, конечно). Футбольное не входит в состав единой номинации, потому что в том же значении слово поле употребляется для обозначения и других спортивных площадок.
Неподалеку устроены площадки для баскетбола и волейбола, есть два расположенных рядом теннисных корта. Для баскетбола и волейбола, теннисных — определения.
Для занятий легкой атлетикой отведена территория справа. Легкой атлетикой — один член предложения (это термин), косвенное дополнение. Справа — примыкающее (несогласованное) определение. Грамматические основы очевидны.
С утра до вечера в спортивном городке много ребят разного возраста. Это номинативное (назывное) предложение, главный член — много ребят (количественно-именное словосочетание всегда является одним членом предложения). Спортивном и разного возраста — определения (второе несогласованное, выраженное нечленимым словосочетанием).
Их мечта серьезно заниматься спортом наконец стала реальностью. Мечта стала реальностью — грамм. центр. Серьезно заниматься спортом — примыкающее (несогласованное) распространенное определение.

Такое вполне возможно. Существительное штаны некоторые словари полагают разговорным, но другие смягчают эту стилистическую помету до неофиц. 

Для обособления слова потому в этом предложении нет оснований.

Мы не выполняем домашние задания.