Воспользуйтесь, пожалуйста, «Словарем русского арго» В. С. Елистратова.
Оба варианта возможны.
Мы не выполняем домашние задания.
Первая фраза имеет разговорный оттенок, вторая - нейтральная.
Дома здесь – наречие.
Слово дом следует писать со строчной буквы: 300-летие царствования дома Романовых.
Указанная запятая не требуется.
Да, все верно.