Да, это склоняемое слово. Правильно в родительном падеже: Смерша.
Произведем несложный синтаксический разбор. Главное слово сочетания — день, от него задаем вопросы к зависимым словам и ставим их в нужную форму: день чего? — рождения, день какой? — красивый. Итог: красивый день рождения. О склонении сочетания день рождения см. ответ на вопрос № 249988.
Скорее, это междометие. А что за общее правило, можно поинтересоваться?
Выражения искусственная шуба и натуральная шуба встречаются в обиходной разговорной речи. Поэтому предпочтительны стилистически нейтральные и лексически точные выражения шуба из искусственного меха и шуба из натурального меха.
Строчными: день рождения города.
Такая пунктуация возможна.
Слова "в любом случае" не требуется выделять знаками препинания.
Правильно строчными: день рождения.