Верно: в городе Гатчине. См. "Горячие вопросы".
При существительных мужского и среднего рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, принимает форму родительного падежа множественного числа: два горячих кофе.
Правильно склонять: в городе Геленджике, города Геленджика.
См. раздел «Горячие вопросы».
Географические названия среднего рода, оканчивающиеся на -е, -о, обычно не склоняются в сочетании с родовым словом: в городе Яровое (это название не склоняется, т. к. при склонении сложно будет восстановить исходную форму: в городе Яровом – это город Яровой или город Яровое?).
Запятые нужны.
Нет, сочетание по горячим следам в кавычки не заключается.
Правильно: в городе Москве, в городе Екатеринбурге. См. подробно в «Письмовнике».
