Лучше: отчет по результатам проверки. Возможно: отчет о проверке.
Можно использовать кавычки, если есть опасения, что читатель поймет текст неправильно.
Выражение растекаться мыслию по древу - из "Слова о полку Игореве". Существует версия, что слово мысль должно читаться как мысь - в псковских говорах белка. Следовательно, поэтический сказ уподобляется быстрому бегу белки по дереву. Но этой версии противоречит то, что слово мысь в древнерусских памятниках не встречается. Поэтому скорее всего слово мысль выступает в своем прямом значении, и выражение растекаться мыслию по древу следует понимать как "растекаться творческим воображением".
Корректно: скучаю по вас (допустимо: по вам).
Может быть, предложение работы (ср.: предложить работу); предложение, связанное с работой. Каков контекст?
Корректно: полемизировать с кем-либо о чем-либо (ср.: спорить).
Про недвижимость – допустимо, но нужно помнить, что предлог про вносит разговорный оттенок. Стилистически нейтрально: о недвижимости.
