В словарях современного русского литературного языка такого глагола нет.
Его можно найти в текстах XIX — начала XX века. Теперь это слово считается устаревшим. Авторы художественных произведений могут использовать глагол развеселять для стилизации, но в обычной речи его лучше не употреблять.
В литературном языке - нет.
Глаголы типа использовать, которые могут употребляться как глаголы совершенного вида и несовершенного вида, называются двувидовыми. Их довольно много, хотя точные цифры назвать затруднительно.
Вот еще некоторые примеры: обещать, исследовать, наследовать, использовать, исповедовать, напутствовать, содействовать, атаковать, командировать, госпитализировать, организовать, казнить, ранить, молвить, велеть.
Это выражение употребительно в разговорной речи.
Принципиально - возможно. Но трудно представить контекст, в котором можно было бы употребить такую грамматическую форму.
Строгих правил нет, рекомендации см. в «Письмовнике».
Например: длинношеее животное.
Как-то не очень хорошо. Может быть, заменить на время начала снегопада?
