На наш взгляд, ошибка здесь не речевая, а логическая.
У этих прилагательных разное значение. Готский – от готы (группа древнегерманских племен), например: готский язык (язык готов). Готический – от готика (архитектурный стиль европейского Средневековья, характеризующийся остроконечными сооружениями, стрельчатыми сводами, обилием витражей и скульптурного орнамента), например: готический храм, готическая арка, готический стиль, также: готический шрифт (латинское письмо с угловатыми и заострёнными буквами).
В школе при синтаксическом разборе предложения для выделения предлогов используются разные приемы. Предлог может подчеркиваться так же, как член предложения, к которому он относится. Например, в приведенном Вами предложении сочетание в продолжение времени является обстоятельством, его можно подчеркнуть тире с точками. Другой распространенный вариант – заключение предлогов в треугольник. Конечно, треугольник в данном случае получается весьма кривой.
Нормативно произношение мя[х'к']ие.
Запятая нужна. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Корректно написание: хештег.
Верно: кег. В русский язык это слово пришло из английского или немецкого, а в конечном итоге восходит к скандинавским языкам, ср. старонорвежское kaggi, шведское kagg.
