Эти слова пишутся без кавычек.

Да, в этом случае следует использовать обращение Ваше Святейшество.

Учительница неправа. Литературная норма: шофёры, вариант шоферА есть в языке, но он разговорный и профессиональный. Слова досвидание не существует, правильно: до свидания.

Движимый – это исключение, написание этого слова надо запомнить.

Допустимы оба варианта, ошибки не будет.

Мужская фамилия Немец склоняется. Возможны варианты: Немеца и Немца, но лучше склонять без выпадения гласного (Немеца), т. к. фамилии выполняют в т. ч. юридическую функцию.

Правильно: Благодатненский. В прилагательных, образованных от географических названий на -ный, -ное, пишется суффикс -енск-.

Частица не (которая пишется раздельно) выражает отрицание, не создавая нового слова, тогда как с помощью приставки не- (которая пишется слитно) создается слово. Здесь мы имеем дело с отрицанием (отрицается, что управление грузовым автомобилем – женская профессия), поэтому надо писать раздельно.

Словарная фиксация: вегетососудистый. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Этот вопрос хорошо бы задать составителям. Вообще самым правильным было бы выделить оба варианта как допустимые. Да, когда-то вариант ржавЕть, заржавЕть не разрешался. Например, в словаре «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова (1959) указывалось: ржАветь (не ржавЕть), заржАветь (не заржавЕть). Но это было более полувека назад. И хотя некоторые носители языка (особенно те, кто пользуется старыми словарями) до сих пор убеждены, что ржавЕть, заржавЕть – ошибка, этот вариант уже не одно десятилетие считается нормой. В словарях современного русского языка варианты ржАветь и ржавЕть, заржАветь и заржавЕть даются как равноправные, а в некоторых изданиях ударение ржавЕть, заржавЕть даже считается предпочтительным.