В словарях русского языка сокращения обычно указываются в начале или в конце издания в специальном разделе, посвященном условным сокращениям. Но мы непременно подумаем над тем, как опубликовать список наиболее распространенных сокращений на нашем портале. 

Предложение построено правильно.

Запятая не нужна. Оба слова входят в состав обращения, поэтому для постановки знака нет оснований. Ср.: Привет, Артем! – здесь обращение только Артем, перед ним ставится запятая.

В сочетании прошу прощения существительное стоит в форме родительного падежа (прошу чего?). Глагол просить при сочетании с отвлеченными существительными или с конкретными, но употребленными с оттенком неопределенности требует родительного падежа: просить (чего?) помощи, прощения, денег. При сочетании с конкретными существительными используется винительный падеж: просить свою книгу, просить деньги (определенную сумму, заранее обусловленную).

Верно: Когда пропадает желание жить и единственное, что остается, - пытаться смириться с болью, поселившейся в нашем сердце.

Строго говоря, литературной норме такое употребление не вполне соответствует.

Предложенные вами варианты корректны и соответствуют нормам русского языка. Однако перевод названий — это не столько перевод, сколько транскреация, то есть воссоздание текста на новом языке для новой аудитории. Вспомним удачный перевод названия фильма Die Hard как «Крепкий орешек». 
Представляется, что переводчик сам может сделать выбор: либо использовать предложенные варианты, либо не переводить вовсе. При этом переводить Охотник х Охотник не вполне корректно, так как для русского языка такая конструкция не характерна. 
Насколько нам известно, в среде поклонников этого аниме его называют по-английски, не используя перевод, то есть это будет привычным и понятным названием.

Рекомендуем выбрать вариант с ней как менее формальный.

Можно сказать и так и так, если определяемое существительное, стоящее после числительного и определения, женского рода.