В основе слова магнитофон легко выделяются корни -магнит- и -фон-, так как они в тех же значениях входят в состав множества других слов, например: магнитный, магнитосфера, магнитомеханический, магнитно-рельсовый; домофон, граммофон, диктофон.  

Основа слова велосипед в русском языке не членится на значимые части. Слово было заимствовано из французского языка (vélocipède) и восходит к латинскому: vēlōx, vēlōcis «быстрый» + i + pēs, pedis «нога». Разговорные слова вел, велик образовались в русском языке усечением исходного слова (во втором случае еще и с помощью суффикса -ик-) и не свидетельствуют о членимости исходной основы. 

Сложносокращенные существительные нужно писать слитно. Однако заметим, что в русском литературном языке часть про- не употребляется как сокращение от слова профессиональный, она осознается (и закреплена в словарях) как приставка. У человека, незнакомого с игровым сленгом, слова типа прогеймер будут ассоциироваться со словами, в которых приставка про- указывает на ориентированность, приверженность кого-, чего-либо определенным политическим, религиозным, философским и т. п. взглядам, течениям, организациям (промодернист, просоциалист, профашист). Как сокращение от слова профессиональный в русском языке употребляется часть проф-, ср.: профориентация, профосмотр, профпатолог, профпригодность, профсоюз. Недавно появились слова с вполне понятной частью профи-: профи-клуб, профи-спорт.

1 сентября 2009 года ничего в написании слова Интернет не менялось (не верьте газетным уткам!). Всегда было правильным написание этого слова с прописной буквы при самостоятельном употреблении (доступ к Интернету) и со строчной при употреблении в качестве первой части сложного слова (интернет-сайт, интернет-пользователь, интернет-телеканал). И только в 4-м издании «Русского орфографического словаря» РАН (М., 2012) для слова интернет при самостоятельном употреблении предложены два варианта – с начальной прописной и строчной буквой. Таким образом, теперь правильно и доступ к Интернету, и доступ к интернету. Как первая часть сложных слов интернет- по-прежнему пишется только со строчной.

Союз оттого что можно заменить синонимичным союзом потому что. Запятая может ставиться перед союзом или между его частями. Ср.: я счастлива оттого, что он сказал мне эти слова / я счастлива, оттого что он сказал мне эти слова (= я счастлива потому, что он сказал мне эти слова / я счастлива, потому что он сказал мне эти слова) – многое зависит от того, что он скажет (здесь сочетание предлога с местоимением от того, заменить союзом потому что невозможно, запятая может быть поставлена только перед что, на что падает ударение).

В приведенном Вами примере используется союз оттого что.

На современном этапе развития русского языка основа слова актер не членится на морфемы, т. е. состоит только из корня актер-. При образовании от него с помощью суффикса -ис- слова актриса гласная перед р выпадает. 

Исторически существительное актер связано со словом акт (фр. acte, нем. Akt, польск. akt от лат. ācta, actōrum «поступки, постановление») и восходит к лат. глаголу ago, ēgī, āctum «ходить», как и слова актив, актуальный, акция, реакция, реактив, реактор, агент, агитировать, реагент, реагировать. Но по смыслу в русском языке эти слова не связаны со словом актер, поэтому однокоренными их считать не следует. 

Эти слова, безусловно, этимологически родственные, они восходят к одному и тому же корню (точнее – к старому глаголу прияти 'любить, благожелательно относиться'). Но в современном русском языке (именно на синхронном уровне) они уже не однокоренные, в них не выделяется приставка не, ведь слова приять и приязнь устаревшие, а значение слова неприятель не может быть объяснено через значение слова приятель (приятель – это близкий знакомый, а неприятель – это военный противник, враг, а не «человек, не являющийся близким знакомым»).  В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова в слове неприятель выделен корень неприятель-, а в слове неприязнь – корень неприязнь-.

То же в «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова: в слове вообразить выделен корень вообраз- (в сообразить корень сообраз-, в изобразить корень изобраз-, т. е. эти слова не однокоренные). С авторами и учебника, и словаря вполне можно согласиться: в современном русском языке нет живых словообразовательных связей между словами вообразить, сообразить и образ (можно ли сейчас объяснить, например, значение слова сообразить 'понять, догадаться' через значение слова образ?). Такие связи были в старославянском языке, где вообразить, сообразить и т. д. – производные от образ. Разумеется, все эти слова этимологически родственные, но в современном русском языке уже не однокоренные.

Вы имеете  в виду ресурс «Орфографическое комментирование русского словаря»? В качестве проверочных слов здесь нередко даются слова исторически родственные, но в современном русском языке уже не являющиеся однокоренными. Главная задача этого ресурса — объяснить, почему слово пишется именно так, а не иначе. Ответ на этот вопрос часто можно дать, только обратившись к прошлому языка.

Слова снег и снегирь в современном русском языке не являются однокоренными, потому что сейчас между ними нет живой словообразовательной связи: значение слова снегирь нельзя объяснить через значение слова снег (в отличие, например, от слов снегопад, снеговик, снежинка).

Обратите внимание: разные орфоэпические рекомендации даны к разным значениям слова знамение. Для слова знамение в значении ‘символ’, реализующемся, в частности, в сочетании крестное знамение, в качестве правильного указано только ударение на а. Для слова знамение в значении ‘характерный признак’, ‘предзнаменование’ (знамение времени, доброе знамение) в качестве основного указано то же самое ударение, но при этом допустимым признается ударение на е. Следует заметить, что составители словаря пошли здесь на определенные уступки узусу: в других нормативных словарях правильным считается ударение на а независимо от значения слова знамение.

Нет, слово убогий  не мотивировано сочетанием у Бога, происхождение этого слова иное.

Действительно, слова убогий, бог, богатый, богатство являются этимологически родственными, они восходят к одной и той же праславянской основе *bogъ, имеющей соответствие в других индоевропейских языках. Но важно подчеркнуть, что религиозное значение у слова бог является вторичным; исходное значение праславянского *bogъ – 'наделяющий богатством, дающий благополучие'. От этой основы и были образованы слова богатый  и убогий, при этом слово убогий образовано с помощью приставки у-, которая в древности означала движение в сторону, прочь, вон (т. е. в слове убогий у = не). Буквально убогий – 'не наделенный благополучием; лишенный богатства'.