Сочетание на Дне может вызвать нежелательные ассоциации. Лучше написать: наградят в День района или на праздновании Дня района.
Написание приведенных сочетаний одинаковое (с двумя дефисами), оно подчиняется правилу.
Знаки препинания здесь не требуются (во всяком случае, если рассматривать предложение вне контекста, в который оно включено).
При числительном двое сказуемые-глаголы со значением бытия, наличия, существования, положения в пространстве и т. д. (то есть со значением состояния, а не действия) обычно употребляются в форме единственного числа. Поэтому верно: До выборов состоится еще двое дебатов.
Запятые не требуются.
Да, правильно.
Буква и обозначает сочетание звука [й] и ударного гласного [и], например, в слове воробьи.
Без зависимых слов: Вы разочарованны.
При именительном падеже собирательного числительного связь – управление. В косвенных падежах - согласование (двоих котят, двоим котятам).
