Вы написали это слово без ошибок.
Оба варианта возможны.
Тату – несклоняемое существительное среднего рода: такое новое тату.
Нужно написать раздельно.
Правильно во множественном числе: факелы, учителя (если учитель в знач. 'преподаватель') и учители (в знач. 'глава учения, имеющий последователей').
Правильно слитное написание слова также.
Оба варианта правильны.
Помета разг. при слове надо дана в «Большом академическом словаре русского языка» (Т. 11. М., СПб., 2008). Видимо, такая оценка данного слова восходит еще к «Толковому словарю русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова (М., 1935–1940), где надо тоже сопровождается пометой разг. Однако в других толковых словарях русского языка надо зафиксировано как стилистически нейтральное.
Эти фамилии склоняются, если принадлежат мужчинам, и не склоняются, если принадлежат женщинам.
Употребление слова конник корректно. Оно зафиксировано в словарях русского литературного языка со значением 'спортсмен, занимающийся конным спортом'.
