Приложения начальник отдела и физорг неоднородные (характеризуют человека с разных сторон), поэтому знаки препинания не требуются. При этом можно рассматривать сочетание физорг Алексей Степанович пояснением к сочетанию начальник отдела (особенно если основной темой текста является этот отдел) и поставить тире: За спортивный дух отвечает начальник отдела — физорг Алексей Степанович.

Части предложения связаны союзом И, но не соотносятся по смыслу.

Согласны с большинством. Обособить нужно ряд определений уже полностью одетая и с чашкой горячего чая в руке, так как они оторваны от определяемого слова она. Сомнения могут быть связаны с тем, является ли данное сочетание определением или входит в состав сказуемого. Если бы не было обстоятельства времени, то могло быть так: Нарцисса выходит на палубу уже полностью одетая и с чашкой горячего чая в руке. В таком предложении один смысловой центр, фразовое ударение падает на однородные компоненты. Но обстоятельство времени не позволяет включить оборот в состав сказуемого, в предложении образуется два смысловых центра, два фразовых ударения: Нарцисса выходит на палубу спустя полчаса / уже полностью одетая и с чашкой горячего чая в руке. 

Да, это лексически избыточная конструкция.

В одном из значений: "пространство между грудью и прилегающей к ней одеждой". Пазуха пальто - некорректное сочетание.

Приложением к делу являются ордера, акты, фотодокументы... (в приложении приводятся ордера...)

А у Лермонтова и Достоевского (в источниках) не хватает знаков препинания?

Названия спортивных команд заключаются в кавычки.

Если сотрудница стала начальником отдела и главным бухгалтером, то верно: принята на должность начальника отдела — главного бухгалтера.

Такая фамилия склоняется: Сегиды Олега Олеговича, Сегиде Олегу Олеговичу, Сегиду Олега Олеговича, Сегидой Олегом Олеговичем, о Сегиде Олеге Олеговиче.