Подобные случаи в справочниках по русской пунктуации не представлены. Можно рекомендовать применить здесь правило о тире между подлежащим и сказуемым-существительным: если перед сказуемым стоит отрицание не, то тире не ставится (пункт 3 параграфа 15 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина). Впрочем, в таких случаях допускается постановка тире с целью «логически и интонационно подчеркнуть сказуемое» (примечание 3 к параграфу 5.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя).

Запятая не нужна, так как союзом и связаны двух вопросительных предложений (второе из них представлено только вопросительным местоимением почему, но в данном случае это неважно). Правило приведено в п. 5 параграфа 112 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.). Обратите внимание, что перед этой конструкцией лучше поставить двоеточие: Поделитесь с нами воспоминаниями: какой предмет был вашим самым любимым в школе и почему?

1. Школьникам можно говорить о том, что слово синие заканчивается на звук и или на и с призвуком э (и склонное к э, близкое к э).

2. После разделительного мягкого знака буква и в ударной позиции обозначает два звука [jи] (в безударной – и неслоговой и и с призвуком э), хотя обычно в школе об этом не сообщается, т. к. после гласных перед и звук [j] чаще всего не произносится и букву и не называют йотированной.

Предложения построены неудачно. Перед тем, как расставлять знаки препинания, нужно их изменить. Возможны такие варианты: Владимир Петров открыл новую школу и пригласил в качестве первых учеников 15 сотрудников из ЦО и 12 из региональной сети или Владимир Петров открыл новую школу и пригласил 15 сотрудников из ЦО и 12 из региональной сети стать ее первыми учениками; В программе приняли участие учителя, а также директора и сотрудники отделений Юг и Север и многих филиалов.

См. словарную фиксацию: постъядерный и пост. Расхождение толкового словаря и орфографических руководств касаются только того, какой морфемой является часть пост-. В толковом словаре она определена как часть сложных слов, но также ее можно квалифицировать как приставку. В орфографии она считается именно приставкой (см. об этом, например, в справочниках Д. Э. Розенталя). На этом основании пост пишется по правилу слитно и требует после себя разделительного знака перед следующей частью, начинающейся с е, ё, ю, я.

8. Возможны оба варианта написания, как слитное, так и раздельное.

9. Запятая перед «следующие» не нужна.

10. В научном тексте лучше: с фтором.

11. Корректно без наращения.

12. Корректно: Способность к присоединению электронов, а следовательно, и неметаллические свойства ослабевают...

13. Аммиак в малых дозах не опасен. Фосфаты практически не опасны... 

15. Тем не менее мышьяк является...

16. Для ионной связи, вследствие ее природы, не характерны такие свойства, как направленность в пространстве и насыщаемость.

Наиболее подробно вопрос сочетания парного тире, выделяющего вставку, с другими знаками препинания, освещен в примечании 4 к параграфу 26.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Примеров, аналогичных Вашему, там не приведено. Исходя из того, что «перед первым тире ставится запятая, если этого требует структура первой части основного предложения», а в данном случае структура того не требует (нет оборотов, которые нужно закрыть), можно рекомендовать не ставить запятую в этой позиции.

Да, это неоднородные приложения, поэтому, например, в перечне участников мероприятия будет правилен вариант без знаков препинания: председатель конкурсной комиссии старший технолог цеха Сергей Сергеев; куратор этапа ведущий инженер предприятия Алексей Смирнов. Однако в предложении, в связном тексте одни приложения могут пояснять другие, и в этом случае будет уместно тире перед пояснительной конструкцией: …заверил председатель конкурсной комиссии — старший технолог цеха Сергей Сергеев; …следил куратор этапа — ведущий инженер предприятия Алексей Смирнов.

Корректно: Я понимаю эти чувства у других, и если не могу одобрять их, то не осуждаю их. 

В пункте 1 параграфа 36.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя говорится: «...запятая ставится только перед союзом и (независимо от того, соединяет ли он однородные члены предложения, самостоятельные предложения или соподчиненные придаточные части), если после придаточной части следует вторая часть двойного союза то, как или но (в этом случае союз и присоединяет целое сложноподчиненное предложение)».