Правильно: испортились.
Это слово еще не попало в нормативные словари, говорить о правильном написании рано.
Верный вариант со́зданы, не рекомендуется созданы́, см. «Большой орфоэпический словарь русского языка».
Название праздника День города пишется с большой буквы, такова рекомендация словарей и справочников. По аналогии также уместно писать с большой буквы и День села (праздник).
См. в "Письмовнике" на нашем портале.
Родился кто - Никита. Рождение кого - Никиты. День рождения чей (и кого) - Никиты. Но: на день рождения Никите подарили...
Оба варианта корректны, однако согласимся, что вариант "на день рождения" позволяет избежать двусмысленности.
В современном русском литературном языке такое слово отсутствует.
Нет, эти сочетания не заключаются в кавычки.
Корректно: Ликуй, Москва, твой день рождения!