Начинать предложение с союза вовсе не запрещено. Однако такое построение текста должно быть стилистически оправданным: при помощи подобного приема пишущий намеренно членит связный текст на составляющие его части, с целью подчеркивания, например, эмоционального состояния субъекта речи, логического выделения деталей из общей картины и т. п. См.: Джинсы, твидовый пиджак и хорошая рубашка. Очень хорошая. Моя любимая! Белая. Обычная белая рубашка. Но любимая. Я надел её… и отправился встречать Макса (Е. Гришковец. Рубашка). 

См. также 314489

См. также 295594

См. также 278562

См. также 276893

В многотомном "Словаре русских народных говоров" слово зафиксовано только в таких значениях:

Ба́тырь, я, м.

1. Богатырь, силач. Нерч. Забайк., Архив АН.

2. Храбрый, ловкий человек и хороший наездник. «У русских, соседствующих с азиатами. Батырь придается к имени или прозванию, и русские этому следуют: Денис-батырь, Мальханов-бáтырь». Даль.

3. Старший (староста или подрядчик) в артели крючников (в дореволюционной России). «По Волге», Даль. Олон., Петерб.

4. Зажиточный крестьянин или кулак. Сев.-Двин., 1928. У батыря работал. Смол., 1958. 

В этом бессоюзном сложном предложении отношения частей не несут в себе значения причины (между частями невозможен союз потому что) или пояснения (невозможно добавить а именно), поэтому для двоеточия нет оснований. Точка с запятой в принципе возможна, но более уместным будет поставить точку, так как во второй части начинается новая мысль: Остаются ученики слабые. Им-то и можно иметь послабления, но тоже с условием. Можно с высокой долей вероятности предположить, что далее будет идти речь об этом условии, то есть мысль из второго предложения будет конкретизирована.

Ответ на вопрос № 257242 был дан в 2010 году. Прошло 15 лет, за это время орфографисты проделали большую работу по упорядочению правил написания собственных имен; появились новые научные труды, в которых содержится системное описание современной орфографии (правила и комментарии). Теперь можно дать более подробный ответ и обозначить некоторые важные пункты правил, связанные с написанием имен сказочных персонажей.

1. О рыбке и петушке. Члены Орфографической комиссии РАН Е. В. Арутюнова, Е. В. Бешенкова и О. Е. Иванова в «Русском правописании с комментариями» указывают: «При упоминании того или иного персонажа литературного произведения в другом произведении статус имени может меняться. Например, в сказке А. С. Пушкина «Сказка о мертвой царевне и семи богатырях» сочетание мертвая царевна не является именем собственным, но если в другом произведении говорится именно об этой мертвой царевне, то автор вправе отнестись к нему как к имени собственному, т. е. правомерно написание Мертвая царевна».

Похожая история с петушком и рыбкой. У Пушкина это не имена собственные, ср.:

Как взмолится золотая рыбка,
Голосом молвит человечьим:
«Отпусти ты, старче, меня в море,
Дорогой за себя дам откуп:
Откуплюсь чем только пожелаешь».

Петушок мой золотой
Будет верный сторож твой:
Коль кругом всё будет мирно,
Так сидеть он будет смирно;
Но лишь чуть со стороны
Ожидать тебе войны,
Иль набега силы бранной,
Иль другой беды незванной,
Вмиг тогда мой петушок
Приподымет гребешок,
Закричит и встрепенется
И в то место обернется.

Но за пределами пушкинских текстов золотая рыбка и золотой петушок вполне могут стать Золотой рыбкой и Золотым петушком, если автор другого текста отнесется к ним как к именам собственным. Написания Золотая Рыбка и Золотой Петушок, действительно, будут отклоняться от основного правила, т. к. слова рыбка и петушок в названиях персонажей сохраняют свое прямое значение, и такое оформление имен (если автор выберет его) должно быть значимым, должно оправдываться текстом.

2. О Рябе. В разных текстах могут быть реализованы такие возможности обозначения имени:

а) статус имени собственного может быть присвоен только второму компоненту, тогда возникнет написание курочка Ряба. Ср. в пародиях Владимира Успенского на Гомера (в переводе Жуковского) и Маяковского:

Муза, скажи мне о той многоопытной куре, носящей
Имя славнейшее Рябы, которая как-то в мученьях
Ночью, в курятнике сидя, снесла золотое яичко.

Смотрите –
                      вот курица.
Фамилия –
                     Ряба.
Перья нафабрив
Села,
        натужилась,
глядит сконфуженно...

Е. В. Арутюнова, Е. В. Бешенкова, О. Е. Иванова приводят и такой пример начала сказки: Жили-были бабушка Даша, внучка Маша да курочка Ряба. В таком контексте тоже логично писать с большой буквы только имя Ряба;

б) статус имени собственного может быть присвоен обоим компонентам названия, тогда возникает написание Курочка Ряба;

в) всё наименование выступает как нарицательное: курочка ряба.

Таким образом, окончательное решение часто остается за автором текста, поскольку зачастую только в условиях текста можно решить вопрос о границах имени собственного. Кроме того, не нужно забывать о традиции написания тех или иных имен и словарной фиксации. Написание Царевна Лебедь зафиксировано в академическом орфографическом словаре, размещенном на ресурсе «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН.

Действительно, вопрос нетривиальный. С читательской точки зрения, как нам кажется, лучше будет восприниматься такое заглавие: Русский (остров). Ведь в традиционном, бумажном издании читатель искал бы статью на букву "Р", значит, с нее и должно начинаться заглавие. А скобки отражают современное употребление: чаще приходится слышать сочетание остров Русский, чем Русский остров.

Напротив, такие сочетания, как Крысий остров, Большое Медвежье озеро (употребляющиеся именно с таким порядком слов), разумно писать без скобок, оставляя слова остров, озеро. Сравните: в традиционной энциклопедии – БСЭ – статья называется Большое Медвежье озеро, нет причин отказываться от такого представления заголовочного слова и в Википедии.

В этом предложении деепричастие используя в составе определительной придаточной части имеет в качестве зависимого слова союзное слово который, а в таких случаях запятая не нужна (см. пункт 4 параграфа 71 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина). Заметим, однако, что деепричастный оборот здесь употреблен некорректно: в норме деепричастие должно обозначать действие подлежащего, но  предложение у вас никогда не будет пустого кресла односоставное безличное, в нем невозможна форма именительного падежа (а именно такая форма играет роль подлежащего). Следовательно, предложение в целом нужно перестроить. 

Игорь, приведенный Вами пример можно оставить и без частицы НЕ, при этом неоднозначность не исчезнет: Ураган вызвал шторм. Так что такая версия вряд ли обоснованна. Напротив, старая норма предписывала использовать только родительный падеж при отрицании в подавляющем большинстве случаев.

Сама грамматическая проблема выбора падежа довольно сложная, имеет долгую историю. На эту тему существует множество научных исследований. Библиографию можно найти, например, в следующем издании: Граудина Л. К., Ицкович В. А., Катлинская Л. П. Словарь грамматических вариантов русского языка. М., 2008. С. 44-45.

А здесь - о современном употреблении: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=otr

В неформальной интернет-переписке местоимения вы и ваш при обращении к одному человеку вполне уместно писать со строчной буквы. В параграфе 202 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина говорится лишь об обращениях «в письмах, официальных документах и т. п.», но не в неформальной интернет-переписке. Заметим, что нас вряд ли должно удивлять написание местоимений вы и ваш со строчной буквы: именно так пишутся эти местоимения в диалогах персонажей художественных произведений, в том числе русской классической литературы. См. также ответ на вопрос 310885.

Приведенное предложение не сложносочиненное, а бессоюзное сложное. Отметим при этом, что оно требует редактирования: во-первых, распространенное определение похожее на старинную морскую карту, стоящее после определяемого слова небо, обособляется; во-вторых, в суффиксе отглагольного прилагательного серебрёный пишется одна Н, поскольку оно образовано от глагола несовершенного вида (серебрить); в-третьих, сочетание серебрёный звон воздуха при ознакомительном чтении может быть отнесено к первому сказуемому (наступает), тогда как последующая часть предложения показывает, что оно должно быть отнесено ко второму сказуемому (завладеют). Корректный вариант: Наступит ночь. Серебрёный звон воздуха, небо, похожее на старинную морскую карту, завладеют сердцем и умом человека.

В предложении 4, бесспорно, допущена ошибка, так как действие, обозначаемое деепричастием (деепричастным оборотом) должно относиться к подлежащему данного предложения. Ср. деепричастный оборот в других предложениях: 

1) Заблудившись в лесу, мы возвратились домой поздно. (Деепричастный оборот обычно предшествует сказуемому, если обозначает причину другого действия.)

2) Выйдя из-за облаков, луна осветила все вокруг. Деепричастный оборот обычно предшествует сказуемому, если обозначает предшествующее действие.

В предложениях 3) и 5) приаточные предложения следует заменить не деепричастным, а причастным оборотом:

3) Рожь, золотящаяся на солнце, была похожа на безбрежное море.

5) Уже распустившиеся ландыши издавали тонкий, нежный аромат весны.