Если говорить о временнЫх значениях местоимений тот и этот, то различие следующее:

ТОТ: Указывает на что-л. удалённое в пространстве или во времени. Тот дом. В тот год. В том городе. В том сне. На том берегу. На том свете

ЭТОТ: 3. Употр. для указания на предмет, лицо и т.п., названные в предшествующем повествовании. Э. роман мне нравится. 4. Указывает на что-л. близкое во временном отношении (как в прошедшем, так и в будущем времени). В э. вечер я был дома. В эти дни состоится кинофестиваль. 5. Указывает на одновременность действия с другими действиями, о которых идёт речь. В э. же момент все встали. Вернулся в Петербург рано утром, в это время началась гроза. II. в зн. сущ.

Вы также можете обратиться к словарным статьям ТОТ и ЭТОТ в рубрике "Проверка слова" на нашем портале.

Прозвища пишутся с прописной буквы. Если в предложении речь идет о прозвище, то корректно написание: Колбаса, Жирная Колбаса.

Если оборот с согласия отца будет обособлен, он будет играть роль попутного замечания. Смысл будет таким: Казбич вообразил, будто Азамат украл лошадь, да еще и с согласия отца.

Корректно с запятой: ополчились на него, как на врага.

Нужно тире: Oписать систему математически с учетом присущей ей нелинейности - значит не выпустить из поля зрения многие режимы, в том числе и те, что не бросаются в глаза, но могут возникнуть.

В предложении о разведчиках формально верен второй вариант. Но это предложение построено неудачно. Деепричастный оборот, отрывающий причастие от зависимого слова, затрудняет чтение, мешает восприятию смысла. Предложение нужно перестроить.

В предложении про грачей сочетание не спеша обособлять не нужно.

Мы не можем помочь с выбором автотранспорта, но можем сказать, что в Вашем тексте много ошибок. 

Для лингвиста это значит 20 лет + любой другой срок (секунда, минута, день...) Но что это значит для юриста - мы не знаем. Ведь выслугу считают в годах, а не в днях и секундах, не так ли?

1. Использование прописных букв корректно. 

2. Запятая перед что не нужна. Не ставится запятая между главной и следующей за ней придаточной частью сложноподчиненного предложения, если придаточная часть состоит из одного союзного слова (относительного местоимения или наречия): Я бы тоже желал знать почему (Л. Т.); Не знаю почему, но я его не понимал (Триф.). Не ставится запятая и если имеется несколько относительных слов, выступающих в роли однородных членов предложения. Ср.: Не знаю почему и каким образом, но письмо вдруг исчезло; Позвонят — расспроси кто и зачем. 

Да, связка есть представляет собой застывшую форму 3-го лица единственного числа настоящего времени глагола быть. К связкам относятся также спрягаемые формы глаголов являться, явиться, значить, означать, называться и др. В предложении 6 сказуемое, как и в предложении 1, является составным именным, оно состоит из глагольной связки является и именной части выражением (имя существительное в роли именной части может употребляться не только в именительном падеже, но и в творительном).

Однако в предложениях 1 и 6 представлены разные виды связок. Связка есть называется отвлеченной, она имеет чисто грамматическое значение и лишена вещественного содержания. А связка является называется полузнаменательной, т. к. представляет собой  глагол с ослабленным лексическим значением: он не только передает грамматические значения (время, наклонение) и связывает сказуемое с подлежащим, но и вносит в сказуемое частично лексическое значение. Приведем другие примеры предложений, где в составном именном сказуемом представлена полузнаменательная связка: Обязательно картина называется портрет. Он оказался студентом.   Кроме этих двух видов связок (отвлеченной и полузнаменательной) существует 3-й вид – знаменательная связка – это глагол, полностью сохраняющий свое лексическое значение, напр.: Он родился героем. Мы расстались друзьями. Знаменательные связки могут свободно употребляться и в качестве самостоятельных сказуемых: Человек родился. Они расстались.

Что касается предложения 7, то здесь глагол есть выступает в роли не связки (связывать ему здесь нечего), а полноценного сказуемого, т. е. в данном предложении перед нами простое глагольное сказуемое.

Верно: под наблюдение врача.