Да, это официально действующие «Правила русской орфографии и пунктуации», утвержденные в 1956 году. Официально действующие правила, в ряде случаев значительно отстающие от современной практики письма, противоречащие ей, – такой вот парадокс. Понятно, что сформулированное в 1956 году и обусловленное идеологическими причинами правило о написании со строчной буквы названий, связанных с религией, сейчас никто не соблюдает: по современным орфографическим нормам первое слово и собственные имена в названиях религиозных праздников пишутся с прописной.

См. также ответ на вопрос № 257105.

Слово гражданин многозначно. Основное его значение - 'лицо, принадлежащее к постоянному населению данного государства'. Также слово гражданин имеет значение 'житель города; горожанин', но оно является устаревшим. Поэтому в стилистически нейтральном контексте нужно писать жители.

Однако в особом стилистическом употреблении возможно и сочетание граждане Москвы, например: Но право голоса дано цензовым избирателям не для их личного использования, а для отражения в подаваемом голосе чувств и взглядов подавляющего большинства граждан Москвы (Из газ.). Также существует звание почетного гражданина Москвы.

Действительно, Ё пишется в обеих частях названия: Хорошёво-Мнёвники.

По одной из версий, название села Хорошёва возникло от мужского имени Хорош, по другой – от слова хорошо. Принцип, по которому при историческом образовании географических названий и, например, фамилий фиксировался тот или иной вариант ударения, определить затруднительно.

Что касается выбора между О и Ё, то в русских названиях, как и фамилиях, на шипящий + -ов (-ёв) пишется О или Ё в соответствии с традицией и с регистрацией в официальных документах.

Наличие или отсутствие слова большим никак не влияет на пунктуацию. В обоих случаях возможны варианты с запятой и без запятой. Запятая нужна, если оборот написанная мелким почерком имеет дополнительное обстоятельственное значение причины: рукопись читалась с (большим) трудом, потому что была написана мелким почерком (при чтении после почерком делается пауза): Написанная мелким почерком, рукопись читалась с трудом. Написанная мелким почерком, рукопись читалась с большим трудом. Если такого оттенка значения нет и паузы после слова почерком нет, запятая не нужна.

При таком порядке слов запятая нужна. Однако лучше отделить приложение от определяемого имени знаком тире (...во главе с Колковым Михаилом Юрьевичем – заместителем губернатора Владимирской области, Кехтером Игорем Эриковичем  – заместителем директора Ассоциации малых туристских городов и Шаповаловой Екатериной – координатором проекта «Гастрономическая карта России» обсудят...) или поменять местами должность и имя (...во главе с заместителем губернатора Владимирской области Колковым Михаилом Юрьевичем, заместителем директора Ассоциации малых туристских городов Кехтером Игорем Эриковичем и координатором проекта «Гастрономическая карта России» Шаповаловой Екатериной обсудят...).

Правильно: векторы. В «Проверке слова» не говорится о правильности варианта вектора в именительном падеже мн. числа.

В словарной статье «вектор, -а» сочетание «-а» указывает на то, как слово будет выглядеть в родительном падеже ед. числа (нет вектора). Это важно, т. к. по родительному падежу можно построить всю падежную парадигму (то есть узнать, каким будет слово в других падежах). Если слово имеет окончание -а (-я) в именительном падеже мн. числа, это оговаривается в словаре, например: «директор, -а, мн. -а, -ов».

Обратимся к "Проверке слова" на нашем портале:

ФАВОРИТ¹ м.

1. Любимец влиятельного или высокопоставленного лица, имеющий благодаря этому какие-л. выгоды. // разг. Тот, кому отдают предпочтение перед другими; любимец, любимчик.
   
2. Любовник государыни или иной высокопоставленной дамы, влияющий на государственные или общественные дела.
   
   
   ФАВОРИТ² м.
3. Лошадь, которая - по общему мнению - имеет наибольшие шансы на первенство, на которую на бегах ставит большинство.
   
4. Сторона, имеющая - по мнению публики - наибольшие шансы на выигрыш в различного рода играх и состязаниях.

Рекомендация писать со строчной основана на следующем правиле: в форме множественного числа названия органов власти, учреждений и т. п. пишутся со строчной буквы (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007). На наш взгляд, рекомендация, приведенная в справочнике Д. Э. Розенталя, не вполне оправданна: прописная буква – маркер имени собственного, т. е. индивидуального названия предмета. Употребление в форме множественного числа превращает собственное наименование в нарицательное, поэтому прописная буква заменяется строчной.

Единого правила нет. Служебные слова и частицы обычно не имеют на себе ударения и примыкают к самостоятельным словам, например: за лесом, при луне, у сына, под шкафом. Однако в некоторых случаях ударение переходит на предлог, и тогда следующее знаменательное слово бывает безударным: на реку, на пол, по полу, за ночь. Чаще всего ударение принимают на себя предлоги на, за, под, по, а также без и из. Во всех спорных случаях рекомендуется проверять ударение по орфоэпическому словарю. 

Как ни парадоксально, правильны оба варианта. Дело в том, что правила правописания и орфографические словари не регламентируют написание большинства собственных наименований (точнее, регламентируется часто только использование кавычек, прописной буквы и - в ряде случаев - слитное, раздельное или дефисное написание).

Однако нужно отметить, что написание с буквой Ж поддерживается такими словами, как сладкоежка, малоежка и сыроежка. Между тем как написание с Ш не имеет опоры на орфографические аналоги (кроме достаточно сомнительной опоры на глагольную форму ешь-ка).