Название не зафиксировано в орфографических словарях. Так как Розеттский камень – название памятника письменности, корректно написание первого слова с заглавной буквы. Ср.: Тмутараканский камень.
Корректно написание со строчной буквы, так как это не официальные названия.
Корректно: Арктический регион.
Со строчной.
Слова день рождения пишутся строчными буквами.
Это сочетание пишется со строчной буквы, ср.: детский сад, школа, институт, издательство. Например: В поселке не было дома престарелых, но две школы и полтора детских садика были. Однако это сочетание может употребляться как индивидуальное название конкретного учреждения, например: Дом этот открыли после войны, назывался он при основании Дом престарелых.
Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
Следует писать все сочетание строчными буквами.
