Правильно: векторы. В «Проверке слова» не говорится о правильности варианта вектора в именительном падеже мн. числа.
В словарной статье «вектор, -а» сочетание «-а» указывает на то, как слово будет выглядеть в родительном падеже ед. числа (нет вектора). Это важно, т. к. по родительному падежу можно построить всю падежную парадигму (то есть узнать, каким будет слово в других падежах). Если слово имеет окончание -а (-я) в именительном падеже мн. числа, это оговаривается в словаре, например: «директор, -а, мн. -а, -ов».
Допустимы оба варианта. Стилистические отличия объяснены в ответе на вопрос № 327147.
Ударение в фамилии художника падает на первый слог: Василий Пукирев.
Как правило, слово используется в том падеже, которого требует его синтаксическое окружение.
Равноправные варианты: глазища, глазищи.
Да, все верно.
Верно для большинства случаев: В. П. Иванов (с пробелами между инициалами и перед фамилией).
Части предложения нужно разделить запятой: Ни в городе Богдан, ни в селе Селифан.