В названии Древняя Русь оба слова пишутся с прописной буквы. А вот прилагательное древнерусский пишется со строчной буквы. Правильно: памятники Древней Руси, но: древнерусские памятники, древнерусская литература.
Правильно: московское время, Игорев поход.
Правильно строчными: с днем рождения.
Правильно с прописной.
Эти слова пишут строчными буквами.
Слово Интернет пишется с прописной буквы.
Правильно: знак зодиака.
Правильно: Единый государственный экзамен.
Происхождение слова полено точно не установлено; ученые предполагают, что оно связано с древнерусским глаголом полети 'гореть' того же корня, что пылать, палить, пламя. Есть также версия (не разделяемая, впрочем, многими лингвистами, в т. ч. М. Фасмером), что полено происходит от пол 'половина', т. е. полено 'расколотое бревно'. Сейчас слово полено можно назвать словарным, проверяемым по орфографическому словарю.
Это слово пишется строчными буквами, с прописной - только как заголовок документа.