Приведенный Вами пример словоупотребления корректен.
В школе это называют "беглыми гласными", они появились в древности в результате исчезновения сверхкратких гласных звуков. В русском языке множество слов, которые склоняются с выпадением гласной О или Е: сон - сна, день - дня, пень - пня, Египет - Египта и др.
Здесь возможны варианты: в день открытых дверей и на дне открытых дверей. Второй вариант предпочтителен, поскольку здесь слово день употреблено, скорее, в значении "мероприятие", чем в значении "дата". Ср. слово вечер в том же значении: ждем вас на вечере поэзии, а не в вечер поэзии.
Из приведенных вариантов лучше первый.
Запятая перед чтобы нужна.
Корректно: Постепенно, день за днём ты будешь становиться мудрее.
Во втором предложении подчеркивается оттенок значения "итоговый" в слове "заключительный".
Верен первый вариант.
