Предпочтительно слитное написание: быстрообновляемый.
Ваш вариант постановки знаков соответствует правилам, но с коммуникативной точки зрения вызывает вопросы разрыв прямой речи перед несогласованным определением с крышей, относящимся к существительному дом. Рекомендуется контактная позиция этого определения: «Построй нам дом с крышей, — просили они, — и дай нам тень и прохладу в лето и в зиму тепло».
Корректно: Л. не оказала, да и не могла оказать существенной помощи... Эскадру повел тяжело раненный (или тяжелораненый) И.
Смысл: конь скачет аллюром и при этом месит глину.
Запятую ставить не нужно.
Слово "даже" не требует обособления.
В словарях современного русского языка такое слово отсутствует. В качестве усилительного к непременно используется наречие всенепременно.
Обычно междометие о не отделяется запятой от последующих слов да и нет. Реже (при интонационном выделении) запятая ставится. См. подробнее в «Справочнике по пунктуации».
Запятые не требуются.
Запятая не требуется: о себе да о себе.
