Мы обсудили Ваш вопрос с редактором академического орфографического словаря О. Е. Ивановой. Безусловно, по-русски стоит писать в соответствии с произношением – болдеринг. Зияния (соседство двух гласных) не характерны для русских слов, хотя и встречается в некоторых заимствованиях, например: флоут, боулер, бэрбоут-чартер, плашкоут (не англ.), промоутер, соул. Но эти слова мы выговариваем, потому что в них за зиянием следует согласный или согласный и гласный. В варианте боулдеринг образуется совершенно неудобное для произношения сочетание звуков с двумя согласными после зияния. Подобное сочетание есть в слове поул-позишен. Но, произнося это слово, мы приостанавливаемся после [л], на стыке частей сложного слова, – и перескакиваем трудное место.

Лингвисты рекомендуют такие написания, которые соответствуют фонетическим закономерностям русского языка. Увы, при составлении официальных документов законы русского языка часто не учитываются. А влияние официальных текстов велико – написания, закрепленные там, распространяются и за пределами официально-деловой сферы. И лингвистам приходится это движение учитывать.

Расскажем о похожем случае. В «Русском орфографическом словаре» были зафиксированы слова чирлидинг (вид спорта; группа поддержки спорткоманды), чирлидер. При этом в практике письма преобладал черлидинг. В нормативных актах картина была такая. Вариант черлидинг зафиксирован в «Реестре общероссийских и региональных спортивных федераций», однако и в реестре, и в названиях федераций по всем субъектам РФ он стоит рядом с названием чир спорт (так! раздельно): Общероссийская физкультурно-спортивная организация «Союз чир спорта и черлидинга России», Федерация чир спорта и черлидинга Чувашской Республики, Федерация чир спорта и черлидинга Пермского края и т. д.

Кодификация была дана с гласной и в первом слоге в соответствии с произношением англ. cheerleading по аналогии с передачей английского буквосочетания ee в других словах, напр.: бифштекс (beefsteak) и ростбиф (roast beef), тинейджер (teenager), уик-энд (weekend), рефери (referee), спидометр (speed). Обращает на себя внимание, что однокоренной односложный термин передается как чир (элемент движения, исполняемый под кричалки), также существуют термины чир-микс, чир-данс-шоу. Орфографисты считают, что кодификацию следует сохранить, поддерживая узус в направлении соответствия устойчивой транскрипционной тенденции при передаче звука языка-источника.

Верно без мягкого знака: патриаршего, патриаршему. Теперь разберемся, почему так.

Прилагательное патриарший в начальной форме выглядит как притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос "чей?" и оканчивающееся на -ий (-jeго), ср.: лисий - лисьего, пастуший - пастушьего, черепаший - черепашьего, птичий - птичьего, человечий - человечьего, монаший - монашьего, помещичий - помещичьего, скомороший - скоморошьего и т. д. Такие слова склоняются по особому (местоименному) склонению, в них пишется разделительный мягкий знак. 

Однако слова монарший и патриарший склоняются не по местоименному, а по адъективному склонению, то есть как прилагательные хороший (хорошего), святейший (святейшего), усопший (усопшего), больший (большего), августейший (августейшего) и т. п. В таких словах разделительный мягкий знак не пишется.

По этой причине правильно: патриаршее (не патриаршье) благословение, патриаршая (не патриаршья) ризница, Патриаршие (не Патриаршьи) пруды. И, соответственно: монаршее, монаршая, монаршие.

"Русская грамматика" (под ред. Н. Ю. Шведовой, М., 1980) указывает: "Притяжательные прилагательные орлий (устар.), отчий, монарший и патриарший, основа которых оканчивается на группу согласных (-ий – флексия им. п. ед. ч. муж. р.), изменяются по мягкой разновидности адъективного склонения. Образование от притяжат. прил. монарший, патриарший падежных форм по типу притяжат. прил. соболий, пастуший, волчий для современного языка ненормативно". При этом "у писателей XIX в. встречается образование форм косвенных падежей притяжательных прилагательных женского рода с шипящей согласной перед |j| (казачья, разбойничья) по образцу изменения местоимен. прил. наш, ваш (см. ниже) без |j| в конце основы: Ты не издохнешь от удара Казачей сабли (Пушк.); Не для разбойничей потехи Так рано съехались адехи На двор Гасуба старика (Пушк.); Парень был Ванюха ражий, Рослый человек, – Не поддайся силе вражей, Жил бы долгий век (Некр.) (для современного языка нормативны формы казачьей, разбойничьей, вражьей)".

Итак, различается написание слов: монашьего - патриаршего; монашье - патриаршее; монашья - патриаршая; монашьи - патриаршие.

См.:

• А. А. Зализняк. Грамматический словарь русского языка. 5-е изд., М., 2008.
• Русская грамматика / Под ред. Н. Ю. Шведовой. М., 1980.

Эти слова - из стихотворения А. Плещеева «Старик»:

У лесной опушки домик небольшой
Посещал я часто прошлою весной.

В том домишке бедном жил седой лесник.
Памятен мне долго будешь ты, старик.

Как приходу гостя радовался ты!
Вижу как теперь я добрые черты...

Вижу я улыбку на лице твоем --
И морщинкам мелким нет числа на нем!

Вижу армячишко рваный на плечах,
Шапку на затылке, трубочку в зубах;

Помню смех твой тихий, взгляд потухших глаз,
О житье минувшем сбивчивый рассказ.

По лесу бродили часто мы вдвоем;
Старку там каждый кустик был знаком.

Знал он, где какая птичка гнезда вьет,
Просеки, тропинки знал наперечет.

А какой охотник был до соловьев!
Всю-то ночь, казалось слушать он готов,

Как в зеленой чаще песни их звучат;
И еще любил он маленьких ребят.

На своем крылечке сидя каждый день,
Ждет, бывало, деток он из деревень.

Много их сбегалось к деду вечерком;
Щебетали, словно птички перед сном:

"Дедушка, голубчик, сделай мне свисток".
"Дедушка, найди мне беленький грибок".

"Ты хотел мне нынче сказку рассказать".
"Посулил ты белку, дедушка, поймать".

"Ладно, ладно, детки, дайте только срок,
Будет вам и белка, будет и свисток!"

И смеясь, рукою дряхлой гладил он
Детские головки, белые как лен.

Ждал поры весенней с нетерпеньем я:
Думал, вот приеду снова в те края

И отправлюсь к другу старому скорей.
Он навстречу выйдет с трубочкой своей

И начнет о сельских новостях болтать.
По лесу бродить с ним будем мы опять,

Слушая как в чаще свищут соловьи...
Но увы! Желанья не сбылись мои.

Как с деревьев падать начал лист сухой,
Смерть подкралась к деду тихою стопой.

Одинок угас он в домике своем,
И горюют детки больше всех по нем:

"Кто поймает белку, сделает свисток?"
Долго будет мил им добрый старичок.

И где спит теперь он непробудным сном,
Часто голоса их слышны вечерком...

Вы совершенно правы, здесь должна употребляться частица не: Не знаю ни одного учителя, который бы не возлагал надежды на то, что... Здесь именно отрицание, смысл такой: есть ли учителя, которые не возлагают надежды? Не знаю ни одного такого учителя.

Специального правила произношения нет. Можно произнести так: сто пятьдесят один - один.

Корректно: Впечатления, которые останутся с вами на долгие годы, бесценны.

"Краткий словарь трудностей русского языка" Н. А. Еськовой указывает на вариативность форм о нее и об нее. Оба варианта нормативны.