В Ваших примерах слова восток и запад нужно писать со строчной буквы. Заглавная буква в этих словах возможна при употреблении их в других значениях, см. Восток и Запад.
Предлог в в русском языке, как правило, связан с представлением о замкнутом пространстве, о нахождении внутри чего-либо, о действии, направленном внутрь чего-либо. Поэтому на сковороде используется, когда речь идет о поверхности сковороды; в сковороде — если акцент на внутреннем пространстве сковороды, ограниченном ее краями. Ср.: налить масло на сковороду — ткнуть вилкой в сковороду.
Корректно: Все ясно: автор — коммунист.
Да, здесь нет ошибки.
Да, запятая ставится.
Значение прилагательных см. в Словаре трудностей.
Без слова театр здесь не обойтись. Корректно: актер работает в Театре на Таганке.
Для этого достаточно обратиться к толковому словарю на нашем портале.
