Предпочтителен первый вариант. Слово вопрос сочетается с существительным в предложном падеже с предлогом о. Второй вариант содержит нежелательную конструкцию — ряд существительных в родительном падеже (нанизывание падежей).
Наименование профиля обучения корректно писать с прописной буквы: Институт обновляет профиль обучения «Руководство этнокультурным центром».
Оба варианта возможны, первый удачнее.
Верно: центр внедрения технологий и обучения технологиям.
Двоеточие не нужно.
Дополнительные знаки препинания не требуются, тире стоит верно (только это должно быть именно тире с пробелами, а не дефис).
Предложение написано верно. Вместо запятой можно поставить тире.
Правильно: по достижении цели (в значении «после достижения»).
Обе формы сказуемого возможны.
